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Derivadas Sucesivas. Concavidad y Convexidad Derivadas Sucesivas. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Aplicaciones de la derivada /Derivadas.

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1 Derivadas Sucesivas. Concavidad y Convexidad Derivadas Sucesivas. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

2 Derivadas Sucesivas La derivada D(f) de una función f (supuesta derivable) es también una función. Suponiendo que sigue siendo derivable, podemos calcular D 2 (f), que es la derivada de D(f). Esta será la derivada segunda de la función. Podemos repetir este proceso para calcular derivadas sucesivas. Notación Caso especial

3 Concavidad y convexidad La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b) si la gráfica de la función está por encima de cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo. Definición Analogamente,la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b) si la gráfica de la función está por encima de cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo. Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

4 Concavidad y convexidad Aplicando el Teorema del Valor Medio sabemos que si la derivada primera de una función es creciente en un intervalo (a,b), la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en (a,b). Análogamente, si la primera derivada de una función es decreciente en (a,b), f es cóncava hacia abajo. Teorema Si f(x) > 0 para todo x (a,b), la gráfica de f en cóncava hacia arriba en (a,b) Si f(x) < 0 para todo x (a,b), la gráfica de f en cóncava hacia abajo en (a,b) Por lo tanto podemos afirmar que: Df D2fD2f Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

5 Interpretación geométrica de la segunda Derivada. Observar que la gráfica de una función f puede ser cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b) incluso si f(x) = 0 para un numero finito de puntos (x). La derivada de la función f(x) = x 4, f(x) = 4x 3, es siempre creciente. Por tanto, la función f será cóncava hacia arriba. Sin embargo la segunda derivada f(x) = 12x 2, vale 0 en x=0. f Df D2fD2f Nota La palabra cóncavo proviene del Latín y tiene la misma raíz que cueva y cavidad. Puede decirse que una curva cóncava se curva como una cueva, vista desde el interior de la cueva. Las caries en los dientes, aunque son muy desagradables, podrían ser otro ejemplo de estas características. Ejemplo Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

6 Puntos de Inflexión El signo de la de la derivada segunda de f (f(x) )determina si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo Por tanto, los puntos de inflexión son puntos en los que la segunda derivada de f cambia de signo.(Suponiendo que f es suficientemente derivable). Definición Un punto P de la gráfica de una función f es un punto de inflexión si en ese punto hay un cambio en la concavidad de la gráfica. La recta tangente a la función f en un punto de inflexión corta la gráfica de la función. f D2fD2f Tangente a f en un punto de inflexión. P Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

7 Significado Físico de la Segunda Derivada Suponemos que f(t) mide la posición de un objeto que cae de la Torre de Pisa en función del tiempo (t).Teniendo en cuenta esto, sabemos que la velocidad del objeto en función de t es la derivada de f (f(t) ). Con este mismo razonamiento, con la segunda derivada de la función f, obtenemos la aceleración del cuerpo en función de t. Los experimentos de Galileo Galilei ( ) llevaron al posterior descubrimiento de la ley de la gravedad universal. Matemáticamente esto puede ser expresado así: Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

8 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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