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Volúmenes de Sólidos. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes Sólidos de revolución Los volúmenes de estos sólidos de revolución se pueden hallar.

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Presentación del tema: "Volúmenes de Sólidos. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes Sólidos de revolución Los volúmenes de estos sólidos de revolución se pueden hallar."— Transcripción de la presentación:

1 Volúmenes de Sólidos

2 Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes Sólidos de revolución Los volúmenes de estos sólidos de revolución se pueden hallar mediante integrales definidas, de la misma forma que las áreas.

3 Aproximando Volúmenes La figura de la derecha muestra una aproximación del área encerrada por la función f. Los rectángulos verdes son las sumas de Riemann escogiendo el punto izquierdo del intervalo. Si giramos los rectángulos verdes alrededor del eje X obtenemos la aproximación del volumen del sólido de revolución mediante cilindros. Cuánta mayor sea la aproximación de el área, mayor será, por tanto, la aproximación del volumen del sólido. Sólido a la izquierda, aproximación a la derecha. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

4 Sumas de Riemann para Volúmenes Definición Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

5 Volúmenes como Integrales de Áreas Esta sección se obtiene cortando el sólido con un plano perpendicular al eje X y que pase por el punto x. La sección es un disco, círculo, de radio f(x). En la figura de la derecha, la curva roja es la gráfica de la función f, siendo el eje de giro el eje X. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

6 Volúmen de una Esfera Ejemplo Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

7 Volumen de un Toro(1) El volumen de dicho toro se calcula de la siguiente forma: Ejemplo Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

8 Volúmen de un Toro(2) Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

9 Volumen de un Toro(3) Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

10 1 Volúmen de un Toro(4) Resumen Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

11 Sólidos de Revolución Generales En general, un sólido de revolución se obtiene al girar una región alrededor de un eje. Los métodos anteriores se pueden aplicar en estos casos, pero los cálculos se pueden complicar mucho. Por ejemplo, consideremos el sólido de revolución obtenido girando la gráfica de la parábola y=x 2 alrededor de la recta y=x. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

12 Sólidos de Revolución Generales(2) Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

13 Otros tipos de Sólidos Los volúmenes de otros tipos de sólidos se pueden hallar también por integración. Hay que seguir los siguientes pasos: 1.Dividir los sólidos verticalmente, cortando por planos a lo largo de una recta que pase a través de dicho sólido. 2.Expresar el área de las secciones obtenidas en función del punto de intersección entre la recta la sección. 3.Integrar este área para obtener el volumen del sólido. Un ejemplo de este tipo de sólido es el sombrero de arriba. Es un sólido cuya base es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, y sus secciones perpendiculares al eje X son cuadrados. El volumen de este sólido se puede calcular por secciones. Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

14 Volumen de un sombrero Integración/Primeras aplicaciones/Volúmenes

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16 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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