Ángulos en el círculo Gabriela Cea (9) 2°A
Radián El Radián es una medida angular, donde el arco mide lo mismo que el radio. En un círculo completo hay 6,28 Radianes = 2 π Radianes = 360°
Radián Radio = 8 cms. Arco = 12 cms. x Rad = 12 = 1,5 Rad. 8 X = 1.5 x 180 = 86° π Rad. R o X Arco 2 π Rad. 360° π Rad. 180°
Ángulo inscrito Demostración: Se desprenden 2 triángulos Es el ángulo que tiene el vértice en un punto de la circunferencia. El ángulo inscrito mide la mitad de su arco. Demostración: Se desprenden 2 triángulos Entonces: Arco = 2x + 2y = 2(x+y) = x+y = Arco 2 y 2y y x x 2x Ángulo inscrito = Arco 2
Aplicaciones 80° X X o 50° 30° 60° X
Ángulo interior En el ángulo interior se pueden establecer 2 arcos: Todo ángulo que tiene el vértice en un punto interior del círculo. En el ángulo interior se pueden establecer 2 arcos: - Por los lados directamente. - Por las prolongaciones de los lados.
Ángulo interior El ángulo interior equivale a la semisuma de los arcos subtendidos. Demostración Se agrega el trazo BD, se observan 2 arcos (AB – CD) que forman un triángulo Donde x = Arco AB y = Arco CD 2 2 Entonces: y x Ángulo interior = Arco AB + Arco CD 2
Aplicaciones 80° 70° y X X 10° 20° X + 130° X 70° 70° x o X 30° 30°
Ángulo exterior Es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia.
Ángulo exterior Demostración El ángulo exterior equivale a la semidiferencia de los arcos subtendidos. Demostración Se agrega el trazo AC, quedando el ángulo exterior en el vértice de un triángulo, donde: y = z + x Entonces: x = z - y Pero y = Arco DA z = Arco CB 2 2 Ángulo x = Arco DA – Arco CB 2
Aplicaciones 60° 100° 40° 100° o 70° x x 20° x x 40° 240° o 120° x tag.
Casos especiales y α 180-α α – β 2 α β x o y = α-90° tg R 140° 160° x