Geometría de Proporción

Presentación del tema: "Geometría de Proporción"— Transcripción de la presentación:

1 Geometría de Proporción
Prof. Isaías Correa M.

2 APRENDIZAJES ESPERADOS
Identificar triángulos congruentes y semejantes. Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos. Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras. Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.

3 Contenidos Figuras congruentes 2. Figuras Equivalentes
1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros 3.5 Postulados de semejanza

4 4. División de un segmento
4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4.4 Sección áurea o Divina

5 1. Figuras congruentes ( )
1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

6 1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: A C B D F E 8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

7 a a Ejemplo: 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D 3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

8 b b a a Ejemplo: 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

9 2. Figuras Equivalentes Ejemplo:
Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4p Área = 4p

10 3. Figuras semejantes (~)
3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

11 Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e 2 4 6 12 4 8 3 5 6 10 Además, están en razón 1:2.

12 3.2 Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: E F D a b g A B C a b g 9 12 3 4 5 15 AB es homólogo a DE Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k BC es homólogo a EF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = k AC es homólogo a DF Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

13 3.3 Elementos Homólogos Ejemplo: 
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales. Ejemplo: P Q R A B C 4 3 10 6 5 8 AB PQ = BC QR = CA RP = k  5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 = k

14 hR hC hC hR 2,4 4,8 1 2 Además, = = = k P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5
Recuerda: Teorema de Euclides a · b c hC =

15 3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q 6 10 hR P R 8 A B 3 4 5 C hC PABC PPQR 12 24 1 2 = = = k

16 La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es
La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: A B 3 4 5 C hC Q 6 10 hR P R 8 AB PQ = = k 5 10 1 2 AABC APQR = 6 24 1 4 = k2

17 3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: A B C 34o 55o E F D Δ ABC ~ Δ DFE por AA AB DF BC FE AC DE = = k Además

18 8 4 5 12 6 10 Ejemplo: 2° Postulado LLL.
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL AB FD BC DE AC FE 1 2 = = k Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

19 57° 12 4 5 15 Ejemplo:  3° Postulado LAL.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. A B C 4 E F D 5 12 15 57° Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FED por LAL BC ED 4 12 5 15 1 3 = = k AC FD  Además BAC=DFE y CBA=FED

20 4. División de un segmento
4.1 División interior Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AC CB = m n C A B Ejemplo: Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? Q A B

21    Solución: Q A B 45 27 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3∙45 5
Por lo tanto, AB mide 72

22 4.2 División exterior AD BD = m n Ejemplo:
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AD BD = m n B A D Ejemplo: Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? 20 B A D

23    Solución: 20 B A D 12 8 AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20∙2 5

24 4.3 División armónica m AC CB = n AD BD Ejemplo:
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: m AC CB = n AD BD A C B D Ejemplo: Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? 12 A C B D

25         Solución: 12 - x x y A C B D 36 5 24 5 24 AC CB 3 2
= 3 2 =   3x = 2(12 - x)  3x = x  5x = 24  x = 24 5 AD BD = 3 2 12+y y 3 2  =  24 + 2y = 3y  24 = y

26 4.4 Sección Áurea o Divina AB AX = BX Ejemplo:
El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. X A B Si AX > BX, entonces: AB AX = BX ó (AX)2 = AB∙BX Ejemplo: En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 P A B

27    Solución: 5 P A B (AP)2 = AB∙PB (AP)2 = (AP + 5)∙5

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