Circunferencia y Círculo

Presentación del tema: "Circunferencia y Círculo"— Transcripción de la presentación:

1 Circunferencia y Círculo
Geometría Circunferencia y Círculo Prof. Isaías Correa M.

2 APRENDIZAJES ESPERADOS
Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia. Calcular área y perímetro del sector y segmento circular. Calcular ángulos en la circunferencia Calcular medidas de trazos en la circunferencia

3 Contenidos Definición 2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo
2.1 Radio 2.2 Cuerda 2.3 Diámetro 2.4 Secante 2.5 Tangente

4 3. Áreas y Perímetros 2.6 Sagita y Apotema 2.7 Arco de circunferencia
2.8 Sector Circular 2.9 Segmento Circular 3. Áreas y Perímetros 3.1 Área del Círculo 3.2 Perímetro de la Circunferencia 3.3 Medida de un arco de circunferencia 3.4 Área y Perímetro de un sector circular 3.5 Perímetro de un segmento circular

5 1. Definición 1.1 Circunferencia 1.2 Círculo
Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro. •o 1.2 Círculo Región del plano limitado por una circunferencia •o Círculo Circunferencia

6 Circunferencia y del Círculo
2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo 2.1 Radio (r) Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia. o r A O: centro de la circunferencia OA: radio = r

7 2.2 Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
B AB: Cuerda

8 2.3 Diámetro (d) Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Corresponde a la cuerda de mayor longitud. A B r d O • O: centro de la circunferencia AB: diámetro = d = 2r El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias iguales, es decir, Arco AB = Arco BA

9 2.4 Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda. A B • AB: Cuerda AB: Secante

10 2.5 Tangente Recta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”. L A r O O: centro de la circunferencia OA: radio A: Punto de tangencia OA ┴ L

11 2.6 Sagita y Apotema Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema. D C A O P • sagita O: centro de la circunferencia OA: radio PA: sagita OP: apotema En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD

12 2.7 Arco de circunferencia
Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj). A B • AB : arco de circunferencia Los puntos A y B de la circunferencia, determinan el arco AB.

13 2.8 Sector Circular r : radio AB : arco de circunferencia B A
Corresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (a). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia. A B O: centro de la circunferencia r : radio AB : arco de circunferencia Sector circular

14 2.9 Segmento Circular O : centro de la circunferencia AB : cuerda
Es una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia. B A O : centro de la circunferencia AB : cuerda AB : arco de circunferencia Segmento circular

15 3. Áreas y Perímetros 3.1 Área del Círculo Área círculo = p ∙ r2
Si r es el radio, entonces: Área círculo = p ∙ r2 Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm. Solución: Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, el área del círculo es: A = p ∙ 102 A = 100p cm2 

16 3.2 Perímetro de la circunferencia
Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Perímetro = 2p∙r Perímetro = p ∙ d ó Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm. Solución: P = 2p∙15  P = 30 p cm.

17 3.3 Medida de un Arco de Circunferencia
AB :arco de circunferencia O:centro de la circunferencia r :radio Arco pr ∙ a 360° = = a Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2pr) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina (a).

18 3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular
B A sector a ∙ pr2 360° = Psector = r Psector pr ∙ a 360° + 2r = O: centro de la circunferencia r : radio AB : arco de circunferencia

19 3.5 Perímetro de un Segmento Circular
B A a Psegmento = AB Psegmento pr ∙ a 360° + AB = Segmento circular O : centro de la circunferencia AB : cuerda AB : arco de circunferencia

20 Ejemplo de aplicación:
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura. O: centro de la circunferencia. Solución: A Sector ∙p∙42 360° = A Sector 2∙p∙16 9 = = A Sector p 9 Psector p4 ∙80 360° + 2∙4 = Psector p 9 + 8 =

21 Ángulos en la Circunferencia
Teoremas fundamentales - Ángulos 1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito 1.2 Igualdad de ángulos inscritos 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia 1.5 Teorema del ángulo exterior 1.6 Teorema del ángulo interior

22 2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1 Teorema de las secantes 2.2 Teorema de la tangente y la secante 2.3 Teorema de las tangentes 2.4 Teorema de las cuerdas 2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

23 1. Teoremas fundamentales (ángulos)
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco AB = 40º, entonces  = 40º 40° O: centro de la circunferencia

24 Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo: Si el arco AB = 50º, entonces  = 25º 50°

25 Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. 2a Además, se cumple que: a = g + d

26 Ejemplo: En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°. 70° O: centro de la circunferencia

27 1.2 Igualdad de ángulos inscritos
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales. a = b = g

28 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro. 180° O: centro de la circunferencia

29 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. Ejemplo: a + b = 180° g + d = 180°

30 1.5 Teorema del ángulo exterior
Si a es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

31 1.6 Teorema del ángulo interior
Si a es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

32 2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantes Sean PA y PB dos secantes, entonces: PA ∙ PD = PB ∙ PC

33 Ejemplo: En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes. 12 20 6 x PA ∙ PD = PB ∙ PC 12 ∙ PD = 20 ∙ 6 12 ∙ PD = 120 PD= 10

34 2.2 Teorema de la tangente y secante
Sean PA una tangente y PC una secante, entonces: (PA)2 = PC ∙ PD

35 2.3 Teorema de las tangentes
Sean PA y PC dos tangentes, entonces: PA = PC

36 2.4 Teorema de las cuerdas Sean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD

37 2.5 Cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces: Ejemplo: 5 + c = 7 + 8 c = 10 a + c = b + d

38 2.6 Cuerdas Paralelas: Dos cuerdas paralelas en una circunferencia
determinan arcos interiores congruentes. D C AB//CD A B

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