Triángulos II Prof. Isaías Correa M..

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1 Triángulos II Prof. Isaías Correa M.

2 Aprendizajes esperados:
Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras y Euclides. Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios. Calcular áreas y perímetros de triángulos.

3 Contenidos Teoremas válidos para triángulos rectángulos
1.1 Teorema de Pitágoras 1.2 Teorema de Euclides 2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 2.1 Triángulo de ángulos interiores iguales a: 30°, 60° y 90° 2.2 Triángulo rectángulo isósceles 2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

4 3. Triángulo equilátero 4. Triángulos isósceles 3.1 Definición
3.2 Propiedades 4. Triángulos isósceles 4.1 Definición 4.2 Propiedades

5 1. Teoremas válidos para Triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”. hipotenusa cateto cateto

6 1.1 Teorema de Pitágoras (cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. (cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 a2 + b2 = c2 ó

7 152 + (QR)2 = 252 225 + (QR)2 = 625 (QR)2 = 625 - 225 (QR)2 = 400
Ejemplo: De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide 152 + (QR)2 = 252 (Aplicando teorema de Pitágoras) 225 + (QR)2 = 625 (Desarrollando) (QR)2 = (Despejando (QR)2 ) (QR)2 = 400 (Restando) QR = 20 (Aplicando raíz)

8 Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos proporcionales a ellos. Por ejemplo: 3, 4 y 5 5, 12 y 13 6, 8 y 10 10, 24 y 26 15, 36 y 39 9, 12 y 15 20, 48 y 52 12, 16 y 20

9 Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.
= 52 = (10)2 = (15)2

10 Consideremos los siguientes casos:
1. Cuando un cateto es el doble del otro Ejemplo: 2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:

11 1.2 Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces: ∙ hc2 = p q a2 = c q ∙ b2 = c p ∙ Además, se cumple que: hc = a·b c

12 De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides: CD2 = AD DB ∙ (Reemplazando) CD2 = 4 3 ∙ (Aplicando raíz) CD = 4 3 ∙ CD =

13 Además, por Euclides se cumple que:
AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando) AC2 = 7 4 ∙ (Aplicando raíz) AC = 2 7 2 7 2 3

14 2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo
2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90° En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

15 Ejemplo: Determinar el área del triángulo ABC de la figura. 5 30° 5 3  BAC = 30°  CB = 5 y AB = 5 3 El área del triángulo ABC es: Área = 5 5 3 2 ∙ = 25 3 2

16 Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

17 2.2 Triángulo rectángulo isósceles
En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que: A C B Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). A C B Solución: 4 2 4  CBA = 45°  AC = 4 y 45° BC = 4 2 

18 2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces: AM = MB = CM tc : transversal

19 Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el  DCB. 40° 40° Solución: Completando los ángulos,  CBA = 40° Si CD es transversal de gravedad,  D es punto medio  AD = DB = CD  El triángulo CDB es isósceles de base BC   CBA =  DCB Por lo tanto,  DCB = 40°

20 3. Triángulo Equilátero 3.1 Definición
Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos iguales. AB = BC = CA

21 3.2 Propiedades Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales. ha = hb= hc ta = tb= tc ba = bb= bc Sa = Sb= Sc Además: ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

22 Área y altura de un triángulo equilátero:
Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como: A = a2 3 4 h = a 3 2 Ejemplo: Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3. Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

23 A partir de la altura determinaremos el lado.
Sea x la medida del lado, entonces: h = x 3 2 3 3 = x 3 2 3 = x 2 6 = x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: A = 62 3 4 A = 4  A = 9 3  cm2

24 Relación entre el triángulo equilátero
Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita: h = r + r 2  h = 3r 2

25 Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:
h = 3r

26 4. Triángulo Isósceles 4.1 Definición 4.2 Propiedades
Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”. Los ángulos basales son iguales. 4.2 Propiedades La altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en la base, coinciden.

27 Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.
Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. 90° = 50° 40° Si D: punto medio, entonces BD es transversal.  BD es altura, bisectriz y simetral.  DBA = 40° y ADB = 90°  x= 50°

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