Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 2 DECIMALES Y POTENCIAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES TEMA 2.7 * 3º ESO PROPIEDADES DE LAS RAÍCES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

RADICALES EQUIVALENTES Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 6 6/3 2 √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Más ejemplos: 3 3.3 9 √ 2 5 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 5.3 = √ 2 15 6 6/3 2 √ (-2) 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ (-2) 3 / 3 = √ (-2) 1 = √ (-2) 2.2 4 4 √ (-3) = [ Multiplicamos por 2 ] = √ (-3) 1.2 = √ (-3)2 = √ 9  ¿.? Nota: √ (-3) no tiene ningún valor real, no se puedes hacer radicales equivalentes, pues se falsearía su valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ORDENACIÓN DE RADICALES Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. Ejemplo 3 7 √ 2 y √ 5  No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. PROCEDIMIENTO EN ESTE CASO: RADICALES EQUIVALENTES 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21 √ 2 y √ 5  √ 2 y √ 5  √ 128 y √ 125 Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ORDENACIÓN DE RADICALES CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE: Será menor el que tenga menor radicando. Ejemplo 3 3 3 3 √ 2 y √ 5  √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2. CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO: Será mayor el que tenga menor índice. 3 5 1 / 3 1 / 5 √ 2 y √ 2  2 > 2 , pues 1/3 > 1/5  5/15 > 3/15 Pregunta: ¿Cuál es mayor, raíz cúbica de 0,064 o raíz cuarta de 0,0625 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Propiedades 1.- PRODUCTO DE RAICES DEL MISMO ÍNDICE El producto de radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando el producto de los radicandos. n n n √ a . √ b = √ a.b 2.- DIVISIÓN DE RAICES DEL MISMO ÍNDICE El cociente de radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando el cociente de los radicandos. √ a : √ b = √ (a : b) IMPORTANTE: No se pueden multiplicar ni dividir radicales si no tienen el mismo índice. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 3 3 3 1/3 3 √ 2 . √ 4 = √ 2.4 = √ 8 = 2 Ejemplo 2 7 7 7 7 7 7 7/7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = 2 = 2 = 2 Ejemplo 3 3 3 3 3 3 3 3/3 1 √ 81 : √ 3 = √ (81 : 3) = √ 27 = √ 3 = 3 = 3 = 3 Ejemplo 4 4 4 4 4 4 5 5/4 √ 1024 : √ 32 = √ (1024 : 32) = √ 32 = √ 2 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 5 3 5 √ 2 . √ 4 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): 3 15 5 √ 2 = √ 2 5 15 3 √ 4 = √ 4 Ahora y se pueden multiplicar 15 5 15 3 15 5 3 15 5 6 15 11 √ 2 . √ 4 = √ (2 . 4 ) = √ 2 . 2 = √ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 6 12 4 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): 12 12 √ 2 = √ 2 4 12 3 √ 2 = √ 2 3 12 4 Ahora y se pueden multiplicar 12 12 3 12 4 12 3 4 12 8 6 4 3 2 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 = √ 2. 2 . 2 = √ 2 = √ 2 = √ 2 = √ 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Propiedades 3.- POTENCIA DE UNA RAÍZ La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando la potencia del radicando. n m n m √ a = √ a 4.- RAÍZ DE UNA RAÍZ La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices, y por radicando el mismo m n m.n √ ( √ a ) = √ a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 7 3 2 3 2 3 ( √ 2 ) = √ 2 = √ 4 Ejemplo 8 5 2 5 4 2 5 8 ( √ 81 ) = √ (3 ) = √ 3 Ejemplo 9 3 3.2 6 √ (√ 2) = √ 2 = √ 2 Ejemplo 10 3 4 6 3.4 6 12 6 6/12 1/2 √ (√ 2 ) = √ 2 = √ 2 = 2 = 2 = √ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicios EJEMPLOS √[√(81/16)] = √[√81 / √16] = √(9/4) = √9 / √4 = 3 / 2 √[√(16/81)] = √[√16 / √81] = √(4/9) = √4 / √9 = 2 / 3 √[√(1/16)] = √[√1 / √16] = √(1/4) = √1 / √4 = 1 / 2 √[√(25 .16)] = √[√25 . √16] = √(5. 4) = √5 . √4 = 2 .√5 √[√(16 .81)] = √[√16 . √81] = √(4 . 9) = √4 . √9 = 2 . 3 = 6 √[√(a2 . b4 )] = √[√(a2 √ b4 )] = √ [ a . b2 ] = √a . √b2 = b.√a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROPIEDADES 5.- RAÍZ DE UN PRODUCTO n n n √(a.b) = √a . √b La raíz de un producto de radicandos es el producto de las raíces con igual índice. 6.- RAÍZ DE UNA DIVISIÓN n n n √(a / b) = √a / √b La raíz de una división de radicandos es el producto de las raíces con igual índice. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicios EJEMPLOS √(25/49) = √ 25 / √ 49 = 5 / 7 √(16/144) = √ 16 / √ 144 = 4 / 12 = 1 / 3 √(1/36) = √ 1 / √ 36 = 1 / 6 √8 / √2 = √ (8/2) = √ 4 = 2 √243 / √27 = √ (243/27) = √ 9 = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLOS √(1/2) . √(1/3) = √(1/6) √(3/2) . √(4/3) = √(3.4/2.3) = √(12/6) = √ 2 √(3/2) : √(2/3) = √[(3/2):(2/3)] = √(9/4) = √9 /√4 = 3/2 √(1/a) . √(1/a) = √(1/a2) = 1 / √a2 = 1 / a √(b/a) . √(a/b) = √(b.a/a.b) = √1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO