@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 1 * 4º ESO Opc B NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 1 * 4º ESO Opc B NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 Tema 1.12a * 4º ESO Opc B PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 4.-El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. Sea y 1 = log a x 1 e y 2 = log a x 2 y 1 y 2 x 1 = a y x 2 = a Multiplicamos y 1 y 2 y 1 + y 2 x 1 x 2 = a a = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: y 1 + y 2 = log a (x 1 x 2 ) quedando, tras sustituir lo que vale y 1 e y 2 : log a x 1 + log a x 2 = log a (x 1 x 2 )

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 b)log 48 Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4. 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271 c)log 36 Log 36 = log 4.9 = log 2.2.3.3 = log 2+ log 2+ log 3+ log 3 = = 2. 0,301030 + 2. 0,477121 = 0,602060 + 0,954242 = 1,556302 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “los productos se convirtieron en sumas”.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 5.-El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. Sea y 1 = log a x 1 e y 2 = log a x 2 y 1 y 2 x 1 = a y x 2 = a Dividimos y 1 y 2 y 1 - y 2 x 1 / x 2 = a / a = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: y 1 - y 2 = log a (x 1 / x 2 ) quedando, tras sustituir lo que vale y 1 e y 2 : log a x 1 - log a x 2 = log a (x 1 / x 2 )

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 b)log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 c)log 2/3 Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las divisiones se convirtieron en sumas”.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 6.-El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. y Sea y = log a x  x = a Elevando todo a la potencia p: p y p p y.p x = ( a )  x = a La expresión resultante, exponencial, la pasamos a forma logarítmica: p p.y = log a x quedando, tras sustituir lo que vale y : p p.log a x = log a x

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log 1024 log 1024 = log 2 10 = 10. log 2 = 10. 0,301030 = 3,010301 b)log 81 Log 81 = log 3 4 = 4. 0,477121 = 1,908484 c)log 0,125 Log 0,125 = log 125 / 1000 = log 5 3 – log 1000 = = 3. log 5 – 3 = 3. log 10/2 – 3 = 3.(log 10 – log 2) – 3 = = 3.(1 – 0,301030) – 3 = 3 – 0,903090 – 3 = - 0,903090 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las potencias se convirtieron en productos”.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: 3 2000. 2 3000 x = ---------------------- ( Nota: Intentarlo con calculadora) 5 2657 Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( 3 2000. 2 3000 / 5 2657 )= = log 3 2000 + log 2 3000 - log 5 2657 )= = 2000.log 3 + 3000. log 2 - 2657.log 5 = = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = = 954,242509 + 903,090000 – 1857,163301 = = 1857,332509 – 1857,163301 = = 0,179208 Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 7.-El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando, partido por el índice de la raíz. n Sea y = log a √ x Operando queda: 1/n y = log a x Y aplicando la propiedad anterior: log a x y = 1/n. log a x = ----------- n

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a)log √2 log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 3 b)log √ 9 3 log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 3 2 ) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = = 0,318080 5 c)log √ 0,008 5 log √ 0,008 = (log 0,008) / 5 = (log 8 / 1000) / 5 = (log 8 – log 1000) / 5 = = (log 2 3 – 3 ) / 5 = (3. 0,301030 – 3) / 5 = - 0,419382 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “los radicales se convirtieron en divisiones”.