@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 U.D. 1.6 * 1º BCT RADICALES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 RADICALES EXPRESIÓN RADICAL índice raíz radicando si se verifica que r n = a, siendo n > 1 un número natural.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 4 12 √ 2 4 = √ 2 8 = √ 2 24  2 4 / 2 = 2 8 / 4 = 2 24 / 12 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 6 6/3 2 √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 RADICALES EQUIVALENTES

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. CASO DE NO TENER EL MISMO ÍNDICE NI EL MISMO RADICANDO: Se harán radicales equivalentes de igual índice. Ejemplo 3 7 √ 2 y √ 5  No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21 √ 2 y √ 5  √ 2 y √ 5  √ 128 y √ 125 Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. ORDENACIÓN DE RADICALES

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 PROPIEDADES DE LOS RADICALES PROPIEDAD 1: n.p n 4 2.2 √a p = √a  Ejemplo: √ 9 = √ 3 2 = √ 3 PROPIEDAD 2: n n 4 4 √a p = ( √a ) p  Ejemplo: ( √ 5 ) 2 = √ 5 2  Contraejemplo: ( √ (- 3) ) 2 <> √ (- 3) 2 PROPIEDAD 3: m n m.n 3 6 √ ( √ a ) = √ a  Ejemplo: √ (√ 3 ) = √ 3

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 PROPIEDAD 4: n n n 4 4 4 4 √a. b = √a √b  Ejemplo: √ 6 = √ 2.3 = √ 2. √ 3 Ejemplo 3 3 3 1/3 3 √ 2. √ 4 = √ 2.4 = √ 8 = 2 PROPIEDAD 5: n n n 3 3 3 3 √a / b = √a / √b  Ejemplo: √ 2 = √ 6 / 3 = √ 6 / √ 3 Ejemplo 7 7 7 7 7 7 7/7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = 2 = 2 = 2

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 EXTRACCIÓN DE FACTORES Para extraer factores de una raíz se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1 3 3 2 3 3 2 √ 108 = √ 2. 3 = 3. √ 2 Ejemplo 2 4 4 10 4 4 4 2 4 2 √ 1024 = √ 2 = √ 2. 2. 2 = 2.2. √ 2 = 4. √ 2 Ejemplo 3 5 5 5 5 √ 1 / 32 = √ 1 / 2 5 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 Ejemplo 4 4 4 4 4 √ 32 / 81 = √ 2 5 / 3 4 = √ 2.2 4 / 3 4 = (2 / 3). √ 2

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. 3 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 √ 2 + √ 16 = √ 2 + √ 2.8 = √ 2 + √ 2.2 = √ 2 + 2 √ 2 3 Sacando factor común a √ 2 tenemos: 3 3 √ 2. ( 1 + 2 ) = 3. √ 2 SUMA DE RADICALES

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 Para que se puedan multiplicar o dividir convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. En su defecto siempre se puede conseguir tener el mismo índice haciendo previamente radicales equivalentes. Ejemplo 1 3 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 √ 2. √ 5 = 2. 5 = (2.5) = 10 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 2 3 4 1 / 3 1 / 4 (1/3+1/4) 7/12 √ 7. √ 7 = 7. 7 = 7 = 7 Pues queda como producto de potencias de igual base. PRODUCTO DE RADICALES

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT12 Ejemplo 3 3 √ 2. √ 5  No se pueden multiplicar sin hacer índices comunes. El mínimo común múltiplo de los índices (3 y 2) es 6 6 2 6 3 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 6 √ 2. √ 5 = 4. 125 = (4.125) = 500 = √ 500 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 4 3 4 12 4 12 3 4 3 1/12 12 4 3 √ 7. √ 3 = √ 7. √ 3 = ( 7. 3 ) = √( 7. 3 ) Pues queda como producto de potencias de igual exponente.

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT13 Ejemplo 5 3 5 √ 2. √ 4 Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): 15 5 15 3 15 5 3 15 5 6 15 11 √ 2. √ 4 = √ (2. 4 ) = √ 2. 2 = √ 2 Ejemplo 6 12 4 3 √ 2. √ 2. √ 2 Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): 12 12 3 12 4 12 3 4 12 8 6 4 3 2 3 √ 2. √ 2. √ 2 = √ 2. 2. 2 = √ 2 = √ 2 = √ 2 = √ 4

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT14 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Racionalizar una expresión es transformarla en otra equivalente que no tenga radicales en el numerador. CASO 1 Hay raíces cuadradas en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. Ejemplo: 3 3. √2 3. √2 3. √2 ----- = --------- = -------- = ------- √2 √2. √2 (√2) 2 2 Ejemplo: 6.√2 6.√2.√3 6.√6 6.√6 -------- = ----------- = -------- = --------- = 2. √6 √3 √3.√3 (√3) 2 3

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT15 CASO 2 Hay raíces de índice n > 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. Ejemplo: 3 3 3 3 5 5. √ 2 2 5. √ 2 2 5. √ 2 2 5. √2 2 3 ----- = --------- = -------------- = --------- = --------- = 2,5. √2 2 3 3 3 3 3 √2 √2. √2 2 √(2.2 2 ) √2 3 2 Ejemplo: 5 5 5 6.√2 6.√2.√3 3 6.√2. √3 3 6.√2. √3 3 5 -------- = ------------- = ----------- = ------------- = 2.√2.√3 3 5 5 5 5 √3 2 √3 2 √3 3 √ 3 5 3

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT16 CASO 3 Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo: 5 5. (3 + √2) 5.(3 +√2) 15 + 5.√2 -------- = ----------------------- = -------------- = -------------- 3 - √2 (3 - √2).(3 + √2) 9 - 2 7 Ejemplo: √2 √2.(√3 - √2) √6 - 2 √6 - 2 ----------- = ------------------------- = ----------- = ------------- = √6 – 2 √3 + √2 (√3 + √2).(√3 - √2) 3 – 2 1

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT17 Ejemplo: √3 – √2 (√3 – √2).(2√3 + √2) 6 +√6 – 2.√6 – 2 ------------- = ----------------------------- = -------------------------- = 2√3 – √2 (2√3 – √2).(2√3 +√2) 4.3 – 2 4 – √6 --------- = 0,40 – 0,10.√6 10 Ejemplo: 2√3 – 3√2 (2√3 – 3√2).(2√3 – 3√2) 12 – 12.√6 + 18 -------------- = --------------------------------- = ----------------------- = 2√3 + 3√2 (2√3 + 3√2).(2√3 – 3√2) 12 – 18 30 – 12.√6 -------------- = – 5 + 2.√6 – 6