Radicales y sus operaciones

Presentación del tema: "Radicales y sus operaciones"— Transcripción de la presentación:

1 Radicales y sus operaciones
TOMADO DE: Prof. Anneliesse Sánchez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2 Objetivos: Simplificar radicales.
Efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con Números Reales.

3 Notación La raíz cuadrada de un número a, se representa por
En general, la raíz enésima de a se representa por: El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el caso de n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.

4 El símbolo se conoce como radical. La parte dentro del radical se conoce como radicando. El número pequeño fuera del radical, se conoce como índice.

5 Definición La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número
no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a. si y solo si b2 = a Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, es inversa a la operación obtener la raíz cuadrada. Ejemplos:

6 En general, la operación radicación es inversa a la operación
exponenciación. Decimos que: Si y solo si bn = a & a y b tienen el mismo signo. Se debe notar que no es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que existe en los reales si a > 0. Lo mismo sucede con todas las raíces de índice par.

7 Ejemplos: a) b) c) d) porque 33 = 27 porque (-4)3 = -64
no es real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia puede ser negativo.

8 Ejercicios: e) f) g) h) i)

9 Propiedad #1: y Si entonces, Demostración: entonces, un = a
entonces, vn = b Esto implica que: ab = un vn = (uv)n :aplicando las leyes de exponentes Aunque no pretendemos que el estudiante pueda hacer una demostración como esta, es importante que se vaya relacionando con ellas. Por lo tanto, = uv =

10 Propiedad #2: Demostración: Si y entonces, Si entonces, un = a
entonces, vn = b Esto implica que: :aplicando las leyes de exponentes Por lo tanto,

11 Ejemplos: a) b) c) d)

12 Ejercicios: e) f) g) h)

13 Sumas o restas en el radicando
Cuando tenemos una suma o una resta en un radicando, hay primero que efectuar la operación de suma o resta, para luego llevar a cabo la radicación. Esto es así porque: Bastaría un contraejemplo para demostrarlo:

14 Sabemos que por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto, Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.

15 Radicales semejantes Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos: Los siguientes pares de radicales son semejantes.

16 Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es, se pueden sumar o restar. Veamos como:
Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando el término común de ambos términos. Finalmente, p y q se suman, (o se restan si fuese el caso).

17 Ejemplos: a) b) c) d) *En este último ejemplo, note que combinamos sólo los radicales semejantes.

18 Suponga que tenemos el siguiente caso:
Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos. Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos: Por lo tanto, volviendo al ejercicio original, = = =

19 Ejercicios: e) f) g) h)

20 Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un radicando como el producto de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el siguiente ejemplo:

21 Explicación: Como sabemos que 100 es un cuadrado perfecto, y 100 es un factor de 300, rescribimos 300 como 3 × 100 para poder extraer el 100 de la raíz cuadrada. Se puede notar, sin embargo que 300 es también 4 × 75, de modo que:

22 Aunque esto también es correcto, no está completamente simplificado porque 75 todavía tiene un factor que es un cuadrado perfecto: 25. Ciertamente, este resultó más largo, pues no hallamos desde el principio el factor de 300 mayor que fuese un cuadrado perfecto.

23 Para simplificar un radical, debemos factorizar el radicando de manera que alguno de los factores sea una raíz perfecta. Ejemplos: = = a) = b) En este último caso, note cómo hicimos la descomposición por pasos hasta encontrar todos los cuadrados perfectos que son factores de 720.

24 Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro orden pero siempre vamos a encontrar los mismos cuadrados perfectos. Probablemente conviene repasar los cuadrados y cubos perfectos.

25 Cuadrados perfectos Cubos perfectos 12 = 1 13 22 4 23 8 32 9 33 27 42
16 43 64 52 25 53 125 62 36 63 216 72 49 82 92 81 102 100

26 Ejercicios Simplifique: c) d) e) f)

27 Suma y resta de radicales
Como vimos anteriormente, la suma o la resta de radicales consiste en sumar (o restar) los radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay que simplificar los mismos completamente. Veamos algunos ejemplos:

28 Ejemplos a)

29 b)

30 c)

31 Ejercicios f) g) h)

32 Multiplicación de radicales
Anteriormente vimos, con la propiedad #1 que: Por lo tanto, podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y el producto de los radicandos.

33 Ejemplos a) b) c) Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de esta manera, radicales con el mismo índice. Más adelante, en otra sección se verá el procedimiento para multiplicar radicales con distinto índice.

34 Ejercicios d) e) f)

35 División de radicales De la misma forma, la propiedad #2
nos indica que: Esto en palabras diría que, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.

36 Ejemplos a) b) c) De la misma forma, tenemos que hacer énfasis en que esto aplica sólo a radicales con el mismo índice.

37 Ejercicios d) e) f)

38 Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales. Suponga que tenemos el siguiente ejercicio: En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.

39 Tenemos entonces, :propiedad distributiva :multiplicando :raíces exactas :términos semejantes :combinando términos

40 Ejercicios a) b) c) d) e)

41 Racionalización La fracción representa un número irracional
pues no se puede escribir de forma equivalente como una división de dos números enteros. Aunque el numerador es racional, el denominador es irracional. En ocasiones se necesita que el denominador de una fracción sea racional. Podemos cambiar la fracción a una equivalente con el denominador racional.

42 Esto podemos hacerlo usando el principio visto anteriormente, en donde
En otras palabras, podemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número (distinto de cero) y la fracción que se obtiene es equivalente.

43 En este caso, tenemos que buscar por cual número multiplicar el denominador,
para que se vuelva entero. Si multiplicamos queda racionalizado el denominador.

44 Hay que tener claro, que la fracción seguiría siendo irracional
Hay que tener claro, que la fracción seguiría siendo irracional. Antes, había radical en el denominador, y ahora está en el numerador. A este proceso se le llama racionalizar el denominador. La razón por la que escogimos multiplicar al numerador y denominador por es porque así sabemos que el denominador sería que es un número racional porque es entero.

45 Ejemplos Racionalice el denominador de las siguientes fracciones:
En este caso pudimos haber multiplicado por y también lo lográbamos pero luego tendríamos que simplificar. Verifíquelo usted mismo.

46 En el siguiente ejemplo veremos una fracción con raíz cúbica.
En este caso, no podemos juntar los dos radicales del numerador en una sola fracción porque tienen diferente índice.

47 Ejercicios d) e) f)