Matemáticas 2º Bachillerato C.T. MATEMÁTICAS II Tema 15 * Integrales @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. INTEGRAL INDEFINIDA Primitiva de una función. Interpretación geométrica de la integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Integrales inmediatas. Método de descomposición. Método de sustitución. Método de integración por partes. Integrales de funciones racionales con raíces simples en el denominador. Integrales de funciones racionales en las que el denominador solo tiene raíces múltiples. Integrales de funciones racionales en las que el denominador tiene raíces simples y múltiples. Integrales de funciones racionales en las que el denominador no tiene raíces reales. Integrales de funciones trigonométricas e irracionales. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. INTEGRAL INDEFINIDA Tema 15.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 4 4 4 F (x) = 1/4 x ; G (x) = 1/4 x + 7 ; H(x) = 1/4 x - 5 El alumno habrá comprobado que las tres funciones: F (x), G (x) y H (x) tienen la misma función derivada: 3 f (x) = x Se dice que cada una de las funciones F(x),Gg(x) y H(x) es una primitiva de f(x). Definición: Si la función F(x) tiene como derivada la función f(x), se dice que F(x) es una primitiva de f (x). Para indicar que la función F(x) es una primitiva de la función f(x) escribiremos: F (x)= P [ f (x)] Para averiguar si una función F (x) es una primitiva de la función f (x) basta calcular la derivada de F(x): si existe y coincide con f(x), entonces F(x) es efectivamente una primitiva de f(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. INTEGRAL INDEFINIDA Recordemos que si la función F (x) tiene como derivada la función f (x) entonces F (x) es una primitiva de f (x). Resultado que se interpreta en general así: La derivada de una primitiva de la función f (x) es la propia función f (x). Si F(x) es una primitiva de la función f(x), la función F(x) + C (suma de la función F(x) y de una constante C) es también una primitiva de f (x). El conjunto de todas las primitivas de la función f (x) se designa por  f(x) dx y se llama integral indefinida de f (x). Es decir:  f (x) dx = F (x) + C = conjunto de todas las primitivas de f (X). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL PRIMERA La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos. Es decir:  [ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx = =  f (x) dx +  g (x) dx + ..  k (x) dx. SEGUNDA La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x) es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función f (x). Simbólicamente:  k .f (x) dx = k  f(x) dx @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL La derivada de la función potencial f(x)=a.xn es f ' (x)= a. n. xn-1 En efecto, sea la función f(x) =7 x4 ; su derivada f ’(x) =7. 4. x3 ¿Cómo llegar de f ’(x) a f(x)? 4 28 28 28 f(x) =P[ 28. x3 ] = P[ 28.--- x3 ] = ---- P[ 4. x3 ] = ---- x3 = ------ x3+1 4 4 4 3+1 Vemos pues que para llegar a la primitiva de una función potencial, el exponente aumenta en una unidad y el número que lo acompaña (constante) queda multiplicado por la potencia que tenía más una unidad a En general:  a. xn dx = -------- xn+1 + C n+1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Sea la función polinómica f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9. Dicha función es la suma de las funciones potenciales f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x 2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9 Según las propiedades previas :  [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx = =  11. x5 dx +  5. x3 dx -  7. x2 dx +  7x dx +  9 dx = 11. x6 5. x4 7. x3 7. x2 = ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C 6 4 3 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

INTEGRALES INMEDIATAS A semejanza del cálculo de derivadas, es muy necesario para conseguir rapidez y destreza en el cálculo de integrales, conocer el resultado de algunas integrales muy sencillas y elementales llamadas INMEDIATAS. Así, como sabemos que si f(x) = 5.x  f ’ (x) = 5 Si F(x) = 5   5 dx = 5. x + C Así, como sabemos que si f(x) = sen x  f ’ (x) = cos x Si F(x) = cos x   cos x dx = sen x + C [ VER CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.