Integración por fracciones simples

Presentación del tema: "Integración por fracciones simples"— Transcripción de la presentación:

1 Integración por fracciones simples
Una herramienta para obtener primitivas de funciones racionales

2 Introducción del problema
Supongamos que queremos integrar No es un caso de primitiva inmediata, ni aparece ninguna sustitución evidente. Sin embargo observamos que: Lo cual todavía no nos ayuda mucho.

3 En ese momento viene un compañero y nos dice: “ey, mirá de lo que me
di cuenta”: En efecto, si hacemos la resta de estas dos últimas fracciones resulta: Y esto sí nos ayuda para ejecutar la integral, porque podemos escribir:

4 Podemos preguntarnos: ¿siempre es posible esto, o tuvimos mucha suerte?
La respuesta es que, afortunadamente, siempre podremos hacerlo. Si tenemos una función racional propia cuyo denominador es producto de polinomios de 1º grado y polinomios de 2º grado irreductibles (es decir, no factorizables) no repetidos, podemos expresarla como una suma de expresiones como se explica a continuación: Donde los términos de la derecha se llaman fracciones parciales o simples, y A, B y C son constantes que podemos obtener sumando dichas fracciones e igualando el resultado a la fracción original. Y una vez ejecutada la descomposición en fracciones parciales, se puede integrar estas últimas maniobrando algebraicamente y aplicando sustitución. En esas integraciones aparecerán con frecuencia las funciones logaritmo natural y arco tangente.

5 EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva:
SOLUCIÓN Escribimos: Para hallar A, B y C sumamos estas dos últimas fracciones e igualamos el resultado a la función original:

6 Luego:

7 ¿Qué ocurre si se tienen factores repetidos en el denominador
¿Qué ocurre si se tienen factores repetidos en el denominador? Nos referimos a un caso como el siguiente: Aquí no podemos plantear la suma de n términos con el mismo denominador. En lugar de eso, procederemos de la siguiente manera: planteamos n términos, en que los denominadores son la expresión lineal elevada a potencias crecientes, desde 1 hasta n: Y despejamos las constantes como antes. Si en la función original en vez de una expresión lineal tuviéramos una cuadrática a la n, sería lo mismo, pero en los numeradores pondríamos expresiones lineales:

8 EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva:
SOLUCIÓN Observamos que el denominador se puede factorizar, pues es un trinomio cuadrado perfecto; y escribimos: Hallando A y B:

9 Luego

10 EJEMPLO Hallar la siguiente primitiva:
SOLUCIÓN Observamos que el denominador se puede factorizar, pues tiene raíces reales; es decir, no es irreductible. Escribimos: Hallando A y B:

11 Luego:

12 EJEMPLO Proponga una descomposición en fracciones simples para la siguiente integral indefinida. No calcule los coeficientes: