Tema X Límites de funciones

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1 Tema X Límites de funciones
MATEMÁTICAS II Tema X Límites de funciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

2 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
6. LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Interpretación métrica del concepto de límite. Propiedades de los límites. Resolución de indeterminaciones. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

3 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
LÍMITES DE FUNCIONES TEMA * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

4 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” lím f(x) xa Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: lím f(x) = L xxo EJEMPLO: lím x2 = = 4 x2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, … @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

5 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama … Sucesión ( o función ) CONVERGENTE. Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama … Sucesión ( o función ) DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama … Sucesión ( o función ) OSCILANTE. EJEMPLOS: lím (3.x2 +1) / x2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo xoo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo  FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x1 lím (- 1)n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N noo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6 PROPIEDADES OPERATIVAS
a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites: lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x) xa xa xa c) El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites: lím (f(x) - g(x)) = lím f(x) lím g(x) xa xa xa d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x) xa xa xa e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) xa xa xa f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) xa xa xa g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) xa b b xa @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

7 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
LÍMITES LATERALES En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L1 xxo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L2 xxo-- Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

8 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
LIMITES INFINITOS en un punto LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Si representamos la función: y = x / ( x - 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x3+ x pues x vale algo más de 3. lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de 3. Y 1 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

9 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Ejemplo: Si representamos la función: y = x / ( x2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. x lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x2+ x pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 x lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x x pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4 x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4 Y x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.