@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Tema 7.6 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ------------------------- ▲x  0- ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo+) = lím ------------------------- ▲x  0+ ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 EJEMPLO_1 Estudiar la derivabilidad de la función: x 2 – 9, si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3, si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=3 (3 + h) 2 – 9 – (3 2 – 9) 3 2 + 2.3.h + h 2 – 9 – 3 2 + 9 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 6 h  0 - h h  0 - h (3 + h) – 3 – (3 – 3) 3 + h – 3 – 3 + 3 Lím ---------------------------- = lim ------------------------- = h / h = 1 h  0 + h h  0 - h Las derivadas laterales no coinciden. No es derivable en x=3

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 EJEMPLO_2 Estudiar la derivabilidad de la función: x 2 – 4, si x ≤ 2  Función cuadrática Sea f(x) = 4.x – 8, si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h) 2 – 4 – (2 2 – 4) 2 2 + 2.2.h + h 2 – 4 – 2 2 + 4 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 4 h  0 - h h  0 - h 4(2 + h) – 8 – (4.2 – 8) 8 + 4.h – 8 – 8 + 8 Lím ------------------------------- = lim ------------------------- = 4.h / h = 4 h  0 + h h  0 + h Las derivadas laterales coinciden. La función es derivable en x=2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD x=2 Sea la función: x, si x < 2 f(x) = - x + 4, si x ≥ 2 Veamos si es continua en x=2 1)f (2) = - 2 + 4 = 2 2)Lím f(x) = 2 x  2- Lím f(x) = - 2 + 4 = 2 x  2+ 3)f (2) = lím f(x)  2 = 2 x  2 La función es continua en x=2 La función es continua en x=2, pero.. ¿Tiene derivada en x=2, es derivable en x=2?. f(x)=x f(x)= -x + 4

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Calculemos la derivada de la función en x=2 f (2 + h) - f(2) f ’ (x) = lím ------------------------- h  0 h A la izquierda del 2: 2 + h - 2 h f ’ (2-) = lím --------------- = ---- = 1 h  0 h h A la derecha del 2: - 2 - h + 4 + 2 – 4 - h f ’ (2+) = lím --------------------------- = ----- = - 1 h  0 h h Los límites NO coinciden  La función NO es derivable en x= 2, aunque hemos visto que es continua en x=2 Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos. x=2 f(x)=x f(x)= -x + 4

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 x=1 OTRO EJEMPLO Sea la función: x 2, si x < 1 f(x) = 2x – 1, si x ≥ 1 Veamos si es continua en x=1 1)f (1) = 2.1 – 1 = 1 2)Lím f(x) = 1 2 = 1 x  1- Lím f(x) = 2.1 – 1 = 1 x  1+ Lím f(x) = 1 x  1 3)f (1) = lím f(x)  1 = 1 x  1 La función es continua en x=1 La función es continua en x=1, pero.. ¿Tiene derivada en x=1, es derivable en x=1?. f(x)=x 2 f(x)= 2.x – 1

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Calculemos la derivada de la función en x=1 f (1 + h) - f(1) f ’ (1) = lím ------------------- h  0 h A la izquierda del 1: (1 + h) 2 - 1 2 1 + 2h + h 2 - 1 2h + h 2 f ’ (1-) = lím ------------------- = ---------------------- = ----------- = 2 + h = 2 h  0 h h h A la derecha del 1: 2(1 + h) – 1 – (2.1 – 1) 2h f ’ (1+) = lím ---------------------------------- = ----- = 2 h  0 h h Los límites coinciden  La función es derivable en x= 1. Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si una función y=f(x) no es continua en un punto, xo, entonces la función no es derivable en dicho punto. Si una función y = f(x) es continua en un punto xo, y existe la derivada f ’ (x) en los intervalos (a, xo) (xo, b), la función será derivable en xo si: 1.-Existe la función derivada f ‘ (x) por la izquierda. Lím f ‘ (x) = f ‘ (xo-) x  xo- 2.-Existe la función derivada f ‘ (x) por la derecha. Lím f ‘ (x) = f ‘ (xo+) x  xo+ 3.-Ambos límites laterales coinciden. f ‘ (xo-) = f ‘ (xo+) = f ‘ (xo)

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 EJEMPLO_1 x – 4, si x < 2  Función lineal Sea f(x) = - 2, si x ≥ 2  Función constante La función es continua en x = 2. Estudiar su derivabilidad. En x = 2 1.-lím f ‘ (x) = 1 x  2- 2.-lím f ‘ (x) = 0 x  2+ 3.-Vemos que las derivadas laterales no coinciden. La función es continua en x = 2. Pero no es derivable en x=2. En x=2 la función presenta un punto anguloso.

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 EJEMPLO_2 x 2 – 9, si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3, si x > 3  Función lineal La función es continua en el punto x=3 En x=3 1.-Lím f ‘ (x) = Lím 2.x = 6 x  3- x  3- 2.-Lím f ‘ (x) = Lím 1 = 1 x  3+ x  3+ 3.-Las derivadas laterales no coinciden. La función en x=3 presenta continuidad, pero no es derivable en x=3.

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 EJEMPLO_3 – x 2 + 2.x, si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = (x – 1) 3 + 1, si x > 1  Función cúbica La función es continua en x=1. En x=1 1.-Lím f ‘ (x) = Lím -2.x + 2 = - 2.1 + 2 = 0 x  1- x  1- 2.-Lím f ‘ (x) = Lím 3.(x – 1) 2. 1 = 3.0.1 = 0 x  1+ x  1+ 3.-Las derivadas laterales coinciden. Luego y ‘ (1) = 0 La función en x=1 además de continua es derivable.

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 EJEMPLO_4 x 3 – 3.x, si x ≤ 3  Función cúbica Sea f(x) = 3.x – 9, si x > 3  Función lineal Estudiar la derivabilidad en xo=3 1.-f (3) = 3 3 – 3.3 = 27 – 9 = 18 2.-Lím f (x) = Lím x 3 – 3.x = 27 – 9 = 18 x  3- x  3- Lím f (x) = Lím 3x – 9 = 3.3 – 9 = 9 – 9 = 0 x  3+ x  3+ Los limites laterales no coinciden. La función no es continua en x=3. Luego, la función no puede ser derivable en x=3

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.15 EJEMPLO_5 x 2 – m.x + 5, si x ≤ 0  Función cuadrática Sea f(x) = – x 3 + n, si x > 0  Función cúbica Calcula m y n para que sea derivable en R. A la izquierda de x=0 la función derivada es y ‘ = 2.x – m A la derecha de x=0 la función derivada es y ‘ = – 3.x 2 En x=0 1.-f (0) = 0 2 – m.0 + 5 = 5 2.-Lím f (x) = Lím 0 2 – m.0 + 5 = 5 x  0- x  0- Lím f (x) = Lím – 0 3 + n = n x  0+ x  0+ Si n= 5 los limites laterales coinciden y la función es continua en x=0. Si n<> 5 los limites laterales no coinciden, la función no es continua en x=0 y por tanto no puede ser derivable en x=0

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.16 x 2 – m.x + 5, si x ≤ 0  Función cuadrática Sea f(x) = – x 3 + 5, si x > 0  Función cúbica La función es continua en x=0 si n = 5 1.-Lím f ‘ (x) = Lím 2.x – m = 2.0 – m = – m x  0- x  0- 2.-Lím f ‘ (x) = Lím – 3.x 2 + 0 = – 3.0 + 0 = 0 x  0+ x  0+ 3.-Las derivadas laterales sólo coincidirán si m=0 Luego si m=0 y n=5 la función es derivable en x=0 y por tanto en R. Si n=5 y m<>0 la función es continua en x=0 pero no derivable. Si n<>5 y m<>0 la función no es continua en x=0 y por tanto no puede ser derivable.