@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 CÁLCULO DE LÍMITES TEMA 10.3 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 CÁLCULO DE LÍMITES TEMA 10.3 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L x  a x  a x  a Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 Ejemplo 1 x x 2 - 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑. -------- = ---. --- = [oo.0] x  1 x - 1 x 0 1 x (x+1).(x-1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = lím ------- = ---- = 2 x  1 (x – 1).x x  1 1 1 Es decir, se multiplican las expresiones en forma factorial y se simplifica la única fracción resultante.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 Ejemplo 2 1 x 3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑. Lím ---------- = ---. --- = - [oo.0] x  -1 x +1 x  - 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).( x 2 – x +1) ( x 2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = lím --------------- = x  - 1 (x +1).x x  - 1 x (-1) 2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / x m Lím f(x) = Lím -------------- x  a x  a D(x) / x m Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo], [-oo / oo], [ oo / - oo]

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 Ejemplo 1 2.x 3 - 3x + 1 2.oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = --------------------- = [-----] x  oo x 3 – x 2 - 5 oo 3 – oo 2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - 3 / x 2 + 1 / x 3 2 – 3/oo + 1/oo 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = ----------------------- = --------------- = 2 / 1 = 2 x  oo 1 – 1 / x – 5 / x 3 1 – 1/oo – 5/oo 1 – 0 - 0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Ejemplo 2 2.x 3 - 3x + 1 2.oo 3 – 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑ ------------- = ------------------------ = [-------] x  oo 5 - x 2 5 - oo 2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x 3 ) 2 - 3 / x 2 + 1 / x 3 2 – 3/oo + 1/oo 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ ----------------- = ----------------------- = -------------- = 2/0 = oo x  oo 5 / x 3 - 1 / x 5/oo - 1/oo 0 – 0 Vemos que NO existe límite en el infinito.