Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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1 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
REGLAS DE DERIVACIÓN TEMA * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

2 DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Sea y = Ln x Aplicando la definición de derivada: Ln (x + x) - Ln x y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = x x x Sea y = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  y = Ln x / Ln 10 y ' = Ln x En general, sea y = loga x Se procede a un cambio de base: ay = x  y = Ln x / Ln a y ' = Ln a x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

3 Derivada del logaritmo de una función
Sea y = Ln f(x) Aplicando la definición de derivada: Ln f(x + x) - Ln f(x) f ‘ (x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = x x f (x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea y = log f(x) o y = loga f(x) Aplicando un cambio de base: f(x) = 10y  y = Ln f(x) / Ln 10 Aplicando un cambio de base: f(x) = ay  y = Ln f(x) / Ln a f ‘ (x) f ‘ (x) y ' = o y ‘ = Ln f(x) Ln a f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

4 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea y = ex la llamada función exponencial. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln ex = x. Ln e = x Derivando: D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. y ‘ / y = 1  y ‘ = y . 1 = y  y ‘ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = ax , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y . Ln a  y ‘ = ax . Ln a @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

5 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Sea y = af(x) , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y . [ f ‘ (x).Ln a ]  f(x)  y ‘ = a f ‘ (x). Ln a g(x) Sea y = f (x) , función POLINÓMICO-EXPONENCIAL Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras: Sea y = sen x  y ‘ = cos x Sea y = cos x  y ‘ = - sen x Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x , para derivarla la trataremos como una división de funciones. Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas. Sea y = sen f(x)  y ‘ = cos f(x) . f ’ (x) Sea y = cos f(x)  y ‘ = - sen f(x) . f ’ (x) Sea y = Ln sen x  y ‘ = cos x / sen x Sea y = Ln cos x  y ‘ = - sen x / cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

7 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) Ejemplos Sea y = sen7 x = ( sen x )  Es una función polinómica. y ‘ = 7.( sen x ) 6 . cos x Sea y = sen x7  Es una función trigonométrica. y ‘ = cos x x 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.