@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 INTEGRALES RACIONALES PACFGS * TEMA 133.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 INTEGRALES RACIONALES PACFGS * TEMA 133

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 INTEGRACIÓN DE F. RACIONALES P(x) Las funciones del tipo ------ cuando P(x) y Q(x) son polinomios Q(X) se llaman funciones racionales. Si el grado de P(x) es superior al de Q(x), divideremos P(x) entre Q(x) P(X) h. x + k Quedando...  --------- dx =  E(x) dx +  ------------ dx Q(x) Q(x) donde  E(x) dx se resuelve por Descomposición de sumas de funciones potenciales. La segunda integral se resolverá dependiendo de las raíces de Q(x). Si Q(x) es de 2º grado, el numerador es h. x + k Si Q(x) es de 3º grado, el numerador sería una expresión cuadrática

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 TIPOS DE F. RACIONALES 1.- LAS RAÍCES DE Q(X) SON REALES Y DISTINTAS. h.x + k A B Siempre podremos hacer:------------------- = --------- + ---------- 2 x - x1 x - x2 a.x + bx + c siendo x1 y x2 las raíces de Q(x). Realizando la suma de fracciones, en la igualdad consiguiente se nos van los denominadores al ser iguales. Identificando términos semejantes en los numeradores hallaremos el valor de A y el de B. Y por último... h.x + k A B ∫ ------------- dx = ∫ -------- dx + ∫ ---------- dx = A. ln (x-x1) + B.ln (x-x2) + C 2 x - x1 x - x2 a.x + bx + c

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 2.- LAS RAÍCES DE Q(X) SON REALES E IGUALES h.x + k A B Siempre podremos hacer: ---------------- = ------------ + ------------ 2 2 a.(x -x1) (x - x1) (x- x1) siendo x1 la única raíz de Q(x), raíz doble. Realizando la suma de fracciones, en la igualdad consiguiente se nos van los denominadores al ser iguales. Identificando términos semejantes en los numeradores hallaremos el valor de A y el de B. Y por último... h.x + k A B ∫ --------------- dx = ∫ ------------- dx + ∫ ------------ dx = 2 2 x - x1 a.(x - x1) (x - x1) - 2 B -1 = ∫ A (x - x1) dx + ∫ --------- dx = - A (x - x1) + B. ln (x - x1) + C x – x1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 EJERCICIOS Tipo 1 1.-Hallar la integral indefinida de la siguiente función: 1 f(x) = ---------- x 2 - 4 1 A B ---------- = --------- + ---------  1 = A.(x – 2)+ B.(x+2) x 2 - 4 x + 2 x – 2 1 = Ax+Bx – 2A+2B  A + B = 0,, 1 = 2B – 2A A=-B  1 = 2B – 2(-B),, 1 = 4B  B = ¼  A = - ¼ 1 - 1/4 1/4 ∫ ---------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = - ¼.ln(x+2) + ¼.ln (x – 2) + C x 2 - 4 x + 2 x – 2

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 EJERCICIOS Tipo 1 2.-Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x f(x) = --------------- x 2 – 3x – 4 x A B --------------- = --------- + ---------  x = A.(x – 4)+ B.(x+1) x 2 – 3x – 4 x + 1 x – 4 x = Ax+Bx – 4A+B  A + B = 1,, 0 = B – 4A B = 4A  A + 4A = 1  5.A = 1  A = 1/5  B = 4/5 x 1/5 4/5 ∫ ---------------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = 1/5.ln(x+1) + 4/5.ln (x – 4) + C x 2 – 3x – 4 x + 1 x – 4

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 EJERCICIOS Tipo 2 3.-Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x + 1 f(x) = --------------- x 2 – 4x + 4 x + 1 A B ----------------- = ------------ + ---------  x + 1 = A + B.(x – 2) x 2 – 4x + 4 (x – 2) 2 x – 2 x + 1 = Bx + A – 2B  B = 1,, 1 = A – 2B B = 1  1 = A – 2  A = 3 x + 1 3 1 ∫ ---------------- dx = ∫ ----------- dx + ∫ --------- dx = – 3 (x – 2) – 1 + ln (x – 2) + C x 2 – 4x + 4 (x – 2) 2 x – 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 EJERCICIOS Tipo 2 4.-Hallar la integral indefinida de la siguiente función: 1 f(x) = -------------------- (x – 1) 2.(x – 2) 1 A B C --------------------- = ------------ + --------- + -----------  Igualando numeradores (x – 1) 2 (x – 2) (x – 1) 2 x – 1 x – 2 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1).(x – 2) + C. (x – 1) 2 1 = – 2A – B + C,, 0 = A + B – 2C,, 0 = C  C = 0  A = - B  1 = 2B – B  B = 1  A = – 1 1 – 1 1 ∫ -------------------- dx = ∫ ----------- dx + ∫ --------- dx = (x – 1) – 1 + ln (x – 1) + C (x – 1) 2 (x – 2) (x – 1) 2 x – 1

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 EJERCICIOS Tipo 1 5.-Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x f(x) = ---------------------- (x+1)(x+3)(x+5) x A B C ----------------------- = -------- + ------- + ---------  Igualando numeradores (x+1)(x+3)(x+5) x+1 x+3 x+5 x = A.(x +3).(x+5) + B.(x +1).(x + 5) + C. (x +1).(x+3) x = A.x 2 + 8.A.x + 15.A + B.x 2 + 6.B.x + 5.B + C.x 2 + 4.C.x + 3.C 0 = A+B+C,, 1 = 8A+6B+4C,, 0 = 15A+5B+3C  Resolviendo por Gauss: 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 8 6 4 1  0 -2 -4 1  0 -2 -4 1 15 5 3 0 0 -10 -12 0 0 0 8 -5

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 EJERCICIOS … Resolviendo por Gauss: 1 1 1 0 0 -2 -4 1  C = -5/8 = -0,625  B =[ 1 +4.(-5/8)] / (-2) = 0,75 0 0 8 -5  A + 0,75 – 0,625 = 0  A = – 0,125 x -0,125 0,75 -0,625 ∫ ---------------------- dx = ∫ -------- dx + ∫ ------- dx + ∫ ----------- dx  (x+1)(x+3)(x+5) x+1 x+3 x+5  I = – 0,125.ln(x+1) + 0,75.ln(x+3) – 0,625.ln(x+5) + C