Límites y continuidad de funciones.

Presentación del tema: "Límites y continuidad de funciones."— Transcripción de la presentación:

1 Límites y continuidad de funciones.
Límite de una función en un punto. Límites laterales. Continuidad de funciones Límites en el infinito. Asíntotas. Cálculo de límites en un punto. Cálculo de límites en el infinito. Límites trigonométricos.

2 Límite de una función en un punto. Límites laterales.
Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe: Ejemplo.- Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y se representan simbólicamente por: Ejemplo.- El límite limx  af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos son iguales, o sea:

3 Continuidad de funciones.
La función f es continua en x = a, si existe el límite de f cuando x tiende hacia a y su valor coincide con f(a). Es decir: Ejemplo.- Como Limx  0f(x) = f(0) la función f es continua en x =0

4 Discontinuidades de funciones.
Ejemplo.- Como, no existe f(1), f no es continua en x = 1. Sin embargo, dado que bastaría añadir este punto para que fuera continua x = 1, decimos que f tiene en x = 1 una discontinuidad evitable

5 Discontinuidades de funciones.
Ejemplo.- f no es continua en x = 0. Y decimos que f tiene en x = 0 una discontinuidad inevitable de salto finito.

6 Discontinuidades de funciones.
Ejemplo.- f no es continua en x = 0. Y decimos que f tiene en x = 0 una discontinuidad inevitable de salto infinito.

7 Funciones continuas. Una función f es continua en un intervalo, cuando lo es en todo punto de dicho intervalo. Y es continua, cuando los es en todo su dominio si es un intervalo real. Algunas funciones continuas son: los polinomios, la funciones de sen x y cos x, las funciones exponenciales y logarítmicas, … Algunas funciones discontinuas son: la función tangente, la función 1/x, … Además, la suma, producto y composición de funciones continuas son funciones continuas, y el cociente de funciones continuas es una función continua si la función del denominador es distinta de cero para cualquier valor de x.

8 Límites en el infinito. Asíntotas.
Si Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla) Si Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se aproxima la función, pero nunca llega a cortarla) Ejemplo.- Si como La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1

9 Cálculo de límites en un punto.
Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con sustituir en la función f(x) Ejemplo.- Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán - y +, resultado una asíntota vertical en dicho punto Ejemplo.-

10 Cálculo de límites en un punto.
Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones simplificando) Ejemplo.- Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado) Ejemplo.-

11 Cálculo de límites en el infinito.
Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera inmediata Ejemplos ya que en el primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en valor absoluto, 1/x es mas pequeño. Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se calcula el límite en cada uno de los términos del numerados y denominador. Ejemplo.-

12 Cálculo de límites en el infinito.
Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /. Ejemplo.-

13 Cálculo de límites en el infinito.
Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y divide por la expresión conjugada Ejemplo.-

14 Límites trigonométricos
Veamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas Ejemplos.-

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