TEMA 13 NÚMEROS IRRACIONALES Raíz cuadrada. Números reales. El número pi, el número e, el número phi. Radicales. Cálculo de la raíz cuadrada de un número.

13.1 Números IRRACIONALES DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… El número π = 3,1415 … El número e = 2,7182… y el número phi, Ø = 1,618…

El número √2 El primer irracional conocido fue √2 Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. Aplicando el T. de Pitágoras: h= √ (12 + 12) = √ (1 + 1) = √ 2 1 √2

El número π Ya sabéis que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que converge hacia π

El número e Es tan importante o más que el número π. En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de “e” y además una serie de números racionales que converge hacia “e”.

El número Phi ( Ø ) 1 x La divina proporción ----- = ---------  x ( Ø ) = 1,618 x x + 1 Los primeros científicos lo bautizaron como «La Divina Proporción». Medid la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza. Y divididla luego entre la distancia que hay entre el ombligo y el suelo. Da el número Phi. Medíos la distancia entre el hombro y las puntas de los dedos y divididla por la distancia entre el codo y la punta de los dedos. Otra vez Phi. ¿Otro más? La distancia entre la cadera y el suelo dividida por la distancia entre la rodilla y el suelo. Otra vez Phi. La razón entre el largo y el ancho de las tarjetas de crédito: Phi. El nombre de Phi se puso en honor de Phideas de Mileto, el primer arquitecto que llevó dicha relación de medidas al diseñar y construir el Partenón ateniense.

13.2 Representación Gráfica de R NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

NUMEROS FRACCIONARIOS Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad). d d d 0 2 / 3 1 R

Método de representación. Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1. Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera. Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida cualquiera, d. Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta real. Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado dividido en tres segmentos iguales. Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos de los tres segmentos ocasionados. Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número racional 2/3.

OTRO EJEMPLO Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto 7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4. d d d d 0 1 7/4 2

Método de representación. Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2. A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real. Desde el 1 se traza una recta cualquiera. Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida cualquiera, d. Se une el estremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta real. Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado dividido en cuatro segmentos iguales. Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres de los cuatro segmentos ocasionados. Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número irracional 7/4 = 1 + 3 / 4

Radicales 1 √2 0 1 √2 2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2

Representación Gráfica de Números Irracionales 1 √2 √3 √2 0 1 √3 2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3

Representación Gráfica de Números Irracionales 1 √2 √13 3 2 0 1 2 3 √13 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13

13.3 Raíz de un número EXPRESIÓN RADICAL índice n √ a = r raíz radicando n n √ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural.

Ejemplos Índice par y radicando positivo √ 4 = 2 y -2, pues 22 = 4 y (-2)2 = 4 Índice par y radicando negativo 4 4 √ -16 = No hay, pues no existe r tal que r = - 16 Índice impar 3 √ 8 = 2 , pues 23 = 8 √ - 8 = - 2 , pues (- 2)3 = - 8

RADICALES EQUIVALENTES Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 6 6/3 2 √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura.

EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL q p p / q √ a = a Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia, donde el exponente va a ser una división tal que el denominador es el índice del radical. Ejemplos: 3 5 5 / 3 5 1 / 5 √ 2 = 2 ; √ 7 = 7

PROPIEDADES DE LOS RADICALES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO LAS MISMAS QUE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. Ejemplos: 3 5 1/3 1/5 (1/3+1/5) 8 / 15 √ 2 . √ 2 = 2 . 2 = 2 = 2 Pues queda como producto de potencias de igual base. 3 3 1/3 1/3 1/3 1/ 3 √ 7 . √ 5 = 7 . 5 = (7.5) = 35 Pues queda como producto de bases con igual exponente. 3 5 1/3 1/5 (1/3 - 1/5) 2 / 15 √ 7 : √ 7 = 7 : 7 = 7 = 7 Pues queda como división de potencias de igual base.

13.4 Operaciones con radicales EXTRACCIÓN DE FACTORES Siempre que se pueda es muy conveniente extraer factores de un radical. Para ello se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1: 3 3 2 3 3 2 √ 108 = √ 2 . 3 = 3 . √ 2 Ejemplo 2: 4 4 10 4 4 4 2 4 2 √ 1024 = √ 2 = √ 2 . 2 . 2 = 2.2. √ 2 = 4. √ 2

Ejemplo 3: 5 5 5 5 √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 El 2 sale fuera de la raíz. Pero como estaba dividiendo, sale dividiendo. Ejemplo 4: 3 3 √ 8 / 27 = √ 23 / 33 = 2 / 3 El 2 sale fuera de la raíz, pero como estaba multiplicando sale multiplicando. El 3 sale fuera de la raíz, pero como estaba dividiendo sale dividiendo. Ejemplo 5: 4 4 4 4 √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2.24 / 34 = (2 / 3). √ 2

SUMA DE RADICALES Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. 3 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 √ 2 + √ 16 = √ 2 + √ 2.8 = √ 2 + √ 2.2 = √ 2 + 2 √ 2 Sacando factor común a √ 2 tenemos: 3 3 √ 2 . ( 1 + 2 ) = 3 . √ 2

PRODUCTO DE RADICALES Para que se puedan multiplicar o dividir convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. En su defecto siempre se puede conseguir tener el mismo índice haciendo previamente radicales equivalentes. Ejemplo 1 3 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 √ 2 . √ 5 = 2 . 5 = (2.5) = 10 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 2 3 4 1 / 3 1 / 4 (1/3+1/4) 7/12 √ 7 . √ 7 = 7 . 7 = 7 = 7 Pues queda como producto de potencias de igual base.

PRODUCTO DE RADICALES Ejemplo 3 3 √ 2 . √ 5  No se pueden multiplicar sin hacer índices comunes. El mínimo común múltiplo de los índices (3 y 2) es 6 6 2 6 3 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 6 √ 2 . √ 5 = 4 . 125 = (4.125) = 500 = √ 500 Pues queda como producto de potencias de igual exponente. Ejemplo 4 3 4 12 4 12 3 4 3 1/12 12 4 3 √ 7 . √ 3 = √ 7 . √ 3 = ( 7 . 3 ) = √( 7 . 3 )

ORDENACIÓN DE RADICALES Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viciversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. Ejemplo 3 7 √ 2 y √ 5  No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. PROCEDIMIENTO EN ESTE CASO: HALLAR RADICALES EQUIVALENTES 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21 √ 2 y √ 5  √ 2 y √ 5  √ 128 y √ 125 Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando.

ORDENACIÓN DE RADICALES CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE: Será menor el que tenga menor radicando. Ejemplo 3 3 3 3 √ 2 y √ 5  √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2. CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO: Será mayor el que tenga menor índice. 3 5 1 / 3 1 / 5 √ 2 y √ 2  2 > 2 , pues 1/3 > 1/5  5/15 > 3/15