Estimación del área del círculo. Fórmula para calcularla VC 134

a P = 6.l l AE = 6 . A AE = 6 . b.h 2 AE = 6 . l . a 2 AE = P . a 2

P . a Ap.r.= 2 P: perímetro del polígono regular. a: apotema. Para cualquier polígono regular. Ap.r.= P . a 2 P: perímetro del polígono regular. a: apotema.

r Ap.r.= P . a 2 2r . r AC = 2 AC =  . r2

Fórmula para calcular el área de un círculo. AC =  . r2 r: radio   3,14

Circunferencia

Círculo

a) 10,0 dm. Tarea b) 15,0 cm. Calcula el área del círculo cuyo radio es igual a: a) 10,0 dm. Tarea b) 15,0 cm.

 3,14159… A = r 2  a) r = 10,0 dm. A = ? A =  . r2 A = 3,14 . 102 A = 3,14 . 100 A = 314 dm2

a) 78,5 dm2. Tarea b) 1256 cm2. Halla el radio de un círculo cuya área es igual a: a) 78,5 dm2. Tarea b) 1256 cm2.

 a) A = 78,5 dm2. 3,14159… A = r 2  r = ? A =  . r2 78,5 = 3,14 . r2 r2 = 78,5 : 3,14 r2 = 25 r = 5,00 dm

d2 4 Selecciona cuál de las siguientes afirmaciones es la verdadera. b) ___ AC = . d2 4 c) ___ L = 2..d d) ___ Un polígono es regular si tiene sus lados iguales.

d2 4 a) ___  = 3,14. b) ___ AC = . AC = . r2 AC = . AC = . d2 4 X

c) ___ L = 2..d d) __ Un polígono es regular si tiene sus lados iguales.

Ejercicios y problemas de cálculo del área del círculo VC 136

Una vaca se encuentra en una pradera y está atada a un poste con un cordel de 9,00 m de largo. Calcula el área aproximada de la superficie sobre la cual ella puede pastar.

r = 9,00 m A = ? A =  . r2 A = 3,14 • 92 A = 3,14 • 81 A = 254,34 m2 A ≈ 254 m2 R/ Podrá pastar sobre un área de 254 m2 aproximadamente.

¿En qué círculo el área es numéricamente igual a la longitud de la circunferencia que lo determina?

En la figura ∆ABC inscrito en el círculo de centro O y diámetro AB. Si AC = 10 cm, CB = 24 cm, calcula el área rayada.

AR = ? A B C O – AR = A AABC

 3,14159… A B C O AABC= AABC= AABC = 120 cm2 A = r 2 b . h 2 24 10 AABC= b . h 2 AABC= 24 . 10 2 AABC = 120 cm2

A B C O AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 242 + 102 AB2 = 576 + 100 A = .r2 = 3,14 . 132 AB = 26 cm A = 3,14 . 169 OB = 13 cm A = 530,66 cm2

 3,14159… A B C O – AR = A AABC AR = – 120 AR = 410,66 cm2 530,66 – 120 AR = 410,66 cm2 AR  4,1 dm2

¿En qué círculo el área es numéricamente igual a la longitud de la circunferencia que lo determina?

 3,14159… .r2 = 2..r r2 = 2r r2 – 2r = 0 r(r– 2) = 0 r = 0 r = 2 A = .r2 L = 2..r 3,14159…  .r2 = 2..r r2 = 2r r2 – 2r = 0 r(r– 2) = 0 r = 0 r = 2 R/ En el círculo que tiene 2 u de radio.

mide 2,0 mm y el de la arandela que se acopla exactamente con El diámetro de un tornillo mide 2,0 mm y el de la arandela que se acopla exactamente con él mide 8,0 mm. ¿Cuál es el área de la arandela?

El área del anillo o corona circular VC 137

La porción del plano limitada por dos circunferencias con- céntricas, incluyendo a estas, se llama anillo o corona circular. O

.r22 .r12  AAnillo= AC2 – AC1 AAnillo= – AAnillo= AC1=  . r12

(r22 – r12) AAnillo= El área del anillo o corona circular se calcula utilizando la fórmula: AAnillo= (r22 – r12) O r1 r2 r1: radio del círculo menor r2: radio del círculo mayor

Calcula el área de un anillo circular, si: a) r1 = 1,00 dm y r2 = 12,0 cm. Tarea b) r1 = 50,0 mm y r2 = 10,0 cm.

 (r22 – r12) A = AAnillo= A = 3,14.( ) – A = 3,14.(144 – 100) r1 = 1 dm r2 = 12 cm r1 = 10 cm A = (r22 – r12) Anillo AAnillo=  (r22 – r12) A = 3,14.( ) 122 – 102 A = 3,14.(144 – 100) A = 3,14 . 44 A = 138,16 cm2 A  138 cm2

1) Dados: Aanillo = 64 dm2 y r1 = 6,0 dm. Calcula r2 (mayor). Tarea 2) Dados: Aanillo = 0,75 cm2 y r2 = 1,0 cm. Calcula r1 (menor).

 (r22 – r12) A = AAnillo= 64  Anillo (r22 – r12) = r22 – 36 Aanillo = 64 dm2 r1 = 6 dm r2 = ? A = (r22 – r12) Anillo AAnillo=  (r22 – r12) 64 =  . (r22 – 62) 64  = r22 – 36 r22 = 64 + 36 r22 = 100 r2 = 10 dm

A= (r22 – r12) A= (42 – 12) A= 3,14(16 – 1) ≈ 47 mm2 A= 3,14 • 15 d1 = 2,0 mm A= (r22 – r12) d2 = 8,0 mm A= (42 – 12) A= 3,14(16 – 1) A= 3,14 • 15 ≈ 47 mm2 = 47,1 mm2 R/ El área de la arandela es de 47 mm2 aproximadamente.

Ejercicios y problemas de cálculo del anillo VC 138

La fuente circular de un parque de 3,0 m de radio está rodeada de césped. Si del centro de la fuente al borde del césped hay 6,0 m de distancia, calcula el área que ocupa el césped.

 (r22 – r12) A = AAnillo= A = 3,14 . (62 – 32) A = 3,14 . (36 – 9) r1 = 3,0 m r2 A = (r22 – r12) Anillo r2 = 6,0 m r1 AAnillo=  (r22 – r12) A = 3,14 . (62 – 32) A = 3,14 . (36 – 9) A = 3,14 . 27 A  85 m2 A = 84,78 m2

y 3,0 dm de radio respectiva- mente. ¿De qué área dispone un Una diana tiene 3 círculos concéntricos de 1,0 dm , 2,0 dm y 3,0 dm de radio respectiva- mente. ¿De qué área dispone un arquero para lograr con una flecha: 1 punto 2 puntos 3 puntos a) dos puntos?

¿2 puntos? 2 1 A = (r22 – r12) r2 = 2 dm r1 = 1 dm

A = (r22 – r12) A ≈ 9,4 dm2 A = 3,14•(22 – 12) A = 3,14•(4 – 1) R/ Para lograr 2 puntos el arquero dispone de 9,4 dm2 de área aproxima- damente. A = 3,14•(22 – 12) A = 3,14•(4 – 1) A = 3,14 • 3 A = 9,42 dm2 A ≈ 9,4 dm2

arquero para lograr con una flecha: ¿De qué área dispone un arquero para lograr con una flecha: b) al menos 2 puntos? c) a lo sumo 2 puntos?

¿al menos 2 puntos? A ≈ 13 dm2 R/ Para lograr al menos 2 puntos el arquero dispone de 13 dm2 de área aproximadamente. 2 A =  . r2 A = 3,14 • 22 A = 3,14 • 4 A = 12,56 dm2

¿a lo sumo 2 puntos? r2 r1 r2 = 3 dm r1 = 1 dm

A = (r22 – r12) A = 3,14•(32 – 12) A = 3,14•(9 – 1) A = 3,14• 8 ¿a lo sumo 2 puntos? R/ Para lograr a lo sumo 2 puntos el arquero dispone de 25 dm2 de área aproximadamente. A = (r22 – r12) A = 3,14•(32 – 12) A = 3,14•(9 – 1) A = 3,14• 8 A = 25,12 dm2 A ≈ 25 dm2

Las dos varillas de los extremos de un abanico tienen una longitud de 20,0 cm y cuando se abre completa- mente abarcan un ángulo máximo de 120º. Determina el área aproxi- mada que ocupa el abanico al abrirlo completamente.

120º 20 20 Sector circular

El sector circular VC 139

Definición por un arco y los lados del ángulo central correspondiente La parte del círculo limitada por un arco y los lados del ángulo central correspondiente se llama sector circular. sector circular

360º O A B 180º Asc Ac 1 2 = 180º 360º 1 2 = Asc Ac 180º 360º =

360º 90º A B O 180º Asc Ac 1 4 = 90º 360º 1 4 = Asc Ac 90º 360º =

= AC Asc = Asc Ac º • 360º Sector O º 360º O circular A º B 360º 180º O Asc Ac º 360º = Asc = 360º º AC •

Sector circular O Asc Ac º 360º =

En un círculo de radio 4,0 cm se ha trazado un sector circular de 60º de amplitud. Halla su área.

Ac =  . r2 = AC Asc = Ac = 3,14 • 42 Ac = 3,14 • 16 Asc Ac O 4 Ac = 3,14 • 42 4 60º Ac = 3,14 • 16 Asc Ac º 360º = Ac = 50,24 cm2 Asc = 360º º AC •

AC Asc = = Asc= Asc  8,4 cm2 º • 360º 60º • 360º Asc Ac Sector 1 circular 1 Asc= 360º 60º 50,24 • 6 Asc  8,4 cm2 R/ Su área es de 8,4 cm2 aproxima- damente.