LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS.

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1 LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

2 Otros elementos de la circunferencia Flecha o sagita
Q  P Recta secante Cuerda PQ Arco BQ A B  T  Punto de tangencia Recta tangente

3 PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

4 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

5 R r d = Cero ; d : distancia
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ; d : distancia

6 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
Distancia entre los centros (d) d > R + r

7 03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

8 04. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

9 R r ( R – r ) < d < ( R + r )
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

10 06. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

11 07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d d < R - r d: Distancia entre los centros

12 PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

13 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
B R r C D AB = CD

14 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
B R C D r AB  CD

15 TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a b c Inradio r a + b = c + 2r

16 TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

17 TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios Cuadrilátero inscrito m n   α + n = 180º  + m = 180º

18 PROBLEMAS RESUELTOS

19 Problema Nº 01 2 B A C 5 Resolución
Calcule el perímetro del triángulo ABC. 2 5 A B C Resolución

20 a b 2 (1) (2) RESOLUCIÓN B A C 5 (p) = 24
Teorema de Poncelet: a + b = (2) (1) a + b = 14 (2) Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = (p) = 24 Reemplazando (1) en (2) (p) =

21 Problema Nº 2 En un cuadrilátero PQRS mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR P Q R S PLANTEAMIENTO 3 2 Resolución

22 RESOLUCIÓN Dato: a a + b + c + d = 22cm b c d Teorema de Poncelet:
Q R S 2 3 RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm a b c d Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm 12 = 2PR

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