8 La función derivada. Derivadas

Habilidades Explicar con sus palabras el concepto de función derivada y su relación con la derivada de la de una función en un punto. Analizar la correspondencia entre la gráfica de una función y la gráfica de su función derivada. Explicar con sus palabras el concepto de derivada de orden superior. Utilizar adecuadamente las notaciones de Lagrange y de Leibniz para denotar funciones derivadas. Explicar el concepto de función derivable en un punto y en un intervalo y reconocer gráficamente los puntos en que no existe la derivada. Explicar y utilizar la relación entre continuidad y derivabilidad.

Definición: La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como: si el límite existe.

Ejemplo En la figura se muestra la gráfica de una función f. Úsela para graficar f´ y y =f (x) x

La función derivada La función derivada de f en el número x, denotada como se define como: para todas las x en donde el límite exista. Notaciones: Si y = f(x): Función derivada Derivada en a Lagrange: Leibniz: Cauchy: Dy Df(x) Dxf(x) Newton:

Derivadas laterales Derivada por la derecha de a Derivada por la izquierda de a y y = f(x) f ’(a) existe si y solo si Teorema: a x

Nota: La función f´, se conoce como derivada de f, porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite. El dominio de f´, es el conjunto

Derivabilidad en un intervalo x y y = f(x) b Se dice que f es derivable en (a, b) si es derivable en cada x  (a, b) a x y y = f(x) b Se dice que f es derivable en [a, b] si es derivable en (a, b) y existen y

Derivadas infinitas Sea f definida en a Si entonces f posee tangente vertical para x = a Si entonces f posee tangente vertical para x = a Si

Puntos de tangente vertical x y y = f(x) a x y y = f(x) a x y y = f(x) a x y y = f(x)

Relación continuidad - derivabilidad Teorema: Si una función f es derivable en a entonces f es continua en a. Si una función f no es continua en a entonces f no es derivable en a. o también:

Ejemplo Grafique : Calcule las derivadas laterales en x = 1. y 1 2 3 x

Ejercicios 2.8, Pág. 162 6 Trazar las graficas de las derivadas de las siguientes funciones. 8 9

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Sección 2.8. Pág. 154 - 165. Ejercicios 2.8, Pág. 162-164: 3, 4, 8, 9,21,24,30,38.