Dissenys factorials dos o més factors creuats Llicenciatura de Biologia Disseny d’Experiments i Anàlisi de Dades Jordi Ocaña Rebull

Dissenys factorials creuats Contingut: Dos factors fixos creuats Model, mitjanes i estimació dels paràmetres Sumes de quadrats i ANOVA Cas d’una rèplica per casella Blocs en dissenys multifactorials Models o dissenys amb factors aleatoris 2 factors aleatoris components de la variància, correlació intraclàssica Models mixtos: 1 factor fix, 1 factor aleatori Dissenys factorials creuats

Disseny de dos factors creuats: estructura de les dades Disseny no balancejat de dos factors, A i B, amb a i b nivells respectivament): Si és balancejat, Dissenys factorials creuats

Disseny de dos factors creuats: model lineal Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Fertilitzant*Varietat Dades de l’exercici 13 de dissenys multifactorials Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Disseny de dos factors creuats Sumes, mitjanes i estimació de paràmetres Dissenys factorials creuats

Disseny de dos factors creuats Descomposició de la suma de quadrats Dissenys factorials creuats

Disseny de dos factors creuats Quadrats mitjans i esperances Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Disseny de dos factors creuats Contrastos sobre els paràmetres del model És significatiu l’efecte del factor A? És significatiu l’efecte del factor B? És significativa la interacció? Dissenys factorials creuats

Disseny de dos factors creuats Taula ANOVA Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Disseny de dos factors creuats Estadístics F sota normalitat dels errors Si els residus són iid, tots : Significació del factor A: Significació del factor B: Significació de la interacció: Per tant, els valors crítics o els p-valors s’obtindran d’una simple consulta de la taula F. Dissenys factorials creuats

Fertilitzant*Varietat Segons Statgraphics 7.0 El factor fertilitzant i la interacció són clarament significatius. Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Fertilitzant*Varietat diagrames de dispersió de residus (programa S-Plus 4.5) Dissenys factorials creuats

Fertilitzant*Varietat Normalitat dels residus (S-Plus 4.5) Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats És preferible un disseny multifactorial que anàlisis separades factor a factor Més eficient: rèpliques ocultes (hidden replication). Possibles conclusions absurdes si factors per separat: Dissenys factorials creuats

Cas d’una rèplica per casella La discussió anterior fa pensar en la importància de les interaccions. Si n=1, SSE té 0 g.d.ll. i 2 no és estimable a no ser que suposem que no hi ha interacció. En aquest cas utilitzarem SSE = SST - (SSA+ SSB) amb (a-1)(b-1) g.d.ll. i sense possibilitat de separar el residu de les possibles interaccions. F = MSA /{(SST - (SSA+ SSB))/((a-1)(b-1))} amb distribució F(a-1, (a-1)(b-1)) permet aleshores provar la significació d’A (i similarment de B). Dissenys factorials creuats

Cas d’una rèplica per casella: és significativa la interacció? És un problema difícil pel cas n = 1. Hi ha la prova de Tukey, solament vàlida sota un model restrictiu de la interacció: g ij = g ai bj. En aquest cas, si H0 g = 0 és certa, Dissenys factorials creuats

Blocs en dissenys multifactorials Sovint no és possible aleatoritzar totalment, volem controlar factors addicionals no directament interessants o tenim restriccions experimentals. El disseny de l’exemple Fertilitzant*Varietat no és, en realitat, totalment aleatoritzat: “Es considera una àrea de sembra molt gran que es divideix en 12 zones igual de grans. Les 12 combinacions de fertilitzant i varietat s’assignen a l’atzar a les zones. Per a mesurar l’error experimental, cada zona es divideix en quatre subzones que reben totes el mateix tractament.” Dissenys factorials creuats

Blocs en dissenys multifactorials Fixem-nos que no és totalment aleatoritzat, cada zona i,j és un bloc que pot tenir el seu efecte, descrit per un paràmetre dij. Un model més realista seria: En dependre dels mateixos índexs, dij no es pot estimar separadament de la interacció. Si dij no és constant i nul (cosa que no podem provar) tenim una font de biaix i/o variabilitat no mesurable, confosa amb la interacció. Dissenys factorials creuats

Blocs en dissenys multifactorials Un disseny també amb blocs, més adequat, seria: “Es considera una àrea de sembra molt gran que es divideix en 4 zones igual de grans. Cada zona es divideix en 12 subzones. Per cada una de les 4 zones, els 12 tractaments s’assignen a l’atzar a les 12 subzones” Cada una de les 4 “rèpliques” s’associa a un “bloc zona”. El model és ara: Interaccions amb el factor bloc s’han de suposar inexistents o confoses amb l’error (1 sola rèplica), però l’efecte principal dk és analitzable. Dissenys factorials creuats

Experiments factorials amb factors aleatoris Suposem que A i B són factors aleatoris, és a dir els seus nivells són mostres aleatòries de mida a i b, respectivament, de poblacions més grans. Ara el model és: amb Ai, Bj, Iij i eijk v.a. independents. Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Factors aleatoris components de la variància i correlació intraclàssica La independència de les v.a. dels factors i del residu fa que la variància de les observacions es descomposi en les components de la variància: Per altra banda hi ha dependència entre observacions: Dissenys factorials creuats

Dos factors aleatoris significació dels factors i de la interacció Ara els contrastos de més interès són: Iguals sumes de quadrats i quadrats mitjans, però: I els estadístics F adients són, respectivament: Dissenys factorials creuats

Dos factors aleatoris exemple Producció de suc, 4 tarongers i 5 dies, tots agafats a l’atzar (els tarongers són, però, els mateixos tots els dies). Per cada taronger i dia s’agafen a l’atzar tres taronges. És significatiu el factor “taronger”? I el factor “dia”? Hi ha interacció? Dissenys factorials creuats

Taula ANOVA per producció de suc segons Statgraphics 7.0 Cap factor significatiu. Si anàlisi pròpia de factors fixos: conclusió errònia, “dia” significatiu. Dissenys factorials creuats

Dos factors aleatoris estimació de components de la variància Estimadors puntuals: A l’exemple (i valors amb validesa dubtosa): i la covariància entre taronges del mateix arbre i dia: Dissenys factorials creuats

Dissenys o models mixtos un factor aleatori i un factor fix Suposem que A és fix i B aleatori i el model: Tota interacció amb un terme aleatori sempre és aleatòria. (1) i (2) fan que algunes expressions siguin més senzilles; a causa de (2) es coneix com model restringit. Dissenys factorials creuats

Un factor fix, un factor aleatori contrastos sobre els paràmetres Esperances dels quadrats mitjans: Estadístics F: Dissenys factorials creuats

Producció de suc dia: factor fix; taronger: factor aleatori Si “dia” és fix, el factor “taronger” s’acosta més a la significació (i “dia” igualment no significatiu): Dissenys factorials creuats

Dissenys factorials creuats Tres o més factors Teoria anterior generalitzable a tres o més factors, p.e. tres factors fixos amb totes les interaccions: Dissenys factorials creuats

Fertilitzant*Varietat Segons Statgraphics 7.0 El factor fertilitzant i la interacció són clarament significatius. Dissenys factorials creuats

Taula ANOVA per producció de suc segons Statgraphics 7.0 Cap factor significatiu. Si anàlisi propi de factors fixos: conclusió errònia, “dia” significatiu. Dissenys factorials creuats

Producció de suc dia: factor fix; taronger: factor aleatori Si “dia” és fix, el factor “taronger” s’acosta més a la significació (i “dia” igualment no significatiu): Dissenys factorials creuats