Matemàtiques 3er E.S.O.

TEMA 5 Equacions de 2n Grau

4.1 Resolució gràfica d’equacions Considerem la igualtat x + 2y = 4. Es tracta d’una equació de primer grau amb dues incògnites, ja que els exponents de les incògnites x i y són iguals a la unitat. Els valors numèrics de x i y que satisfan la igualtat són les solucions de l’equació. Quantes solucions té aquesta equació? Com les podem trobar? Podem recórrer al tempteig, però aquest procediment és força llarg i pesat. És més pràctic donar valors numèrics qualssevol a una de les dues incògnites, normalment la x, i determinar els valors numèrics corresponents de l’altra incògnita, y, que verifiquen la igualtat.

4.1 Resolució gràfica Observa que les incògnites x i y poden prendre qualsevol valor numèric que sigui un nombre real. Per tant, no hi ha cap més restricció per als valors numèrics de les incògnites x i y que la que estableix l’equació. No acabaríem mai de trobar-ne solucions. Cada solució d’aquesta equació està formada per un parell de nombres x i y, on el valor de la incògnita y depèn del valor que hem assignat a la incògnita x

4.1 Resolució gràfica Aquestes són cinc de les moltes solucions que verifiquen l’equació x + 2y = 4. Atès que x pot prendre qualsevol valor numèric i a cada valor de x li correspon un valor de y, podem afirmar que l’equació x + 2y = 4 té un nombre il·imitat de solucions. Interpretació gràfica Podem donar una interpretació gràfica de les solucions d’una equació de primer grau amb dues incònites. Per fer-ho, començarem representant les solucions obtingudes en un sistema de coordenades cartesianes. Assignarem a cada solució de l’equació, formada per un parell de nombres x i y, el punt del pla de coordenades (x, y). En el nostre cas, per a les cinc solucions trobades, tindrem aquests cinc punts:

4.1 Resolució gràfica Quan representem aquests cinc punts en un sistema de coordenades cartesianes, observem que els cinc punts estan alineats. Si busquem unes quantes solucions més, i representem les coordenades dels punts gràficament, veurem que els nous punts obtinguts també estan alineats amb els que ja havíem representat. Quan representem gràficament en un sistema de coordenades cartesianes les solucions de l’equació x + 2y = 4, obtenim una sèrie de punts que pertanyen a la mateixa recta. Cada solució de l’equació es pot representar per un punt d’aquesta recta. De la mateixa manera, cada punt de la recta té unes coordenades (x, y), els valors de les quals són una solució de l’equació donada.

4.2 Resolució gràfica de sistemes Com podem saber si les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen alguna solució en comú? Podem representar gràficament les solucions de les dues equacions en un mateix sistema de coordenades cartesianes. D’aquesta manera, si tenen una solució en comú, les dues rectes es tallaran en un punt, les coordenades del qual seran solució de cadascuna de les dues equacions. Atès que es tracta de representar una recta en cada cas, ens limitarem a trobar només dues solucions per a cada equació, perquè una recta queda determinada si se’n coneixen dos punts.

4.2 Resolució gràfica de sistemes

4.2 Resolució gràfica de sistemes Les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen una solució en comú, perquè les rectes que contenen les seves solucions es tallen en un sol punt. Podem determinar quina és aquesta solució observant en la gràfica quines són les coordenades d’aquest punt comú a les dues rectes. Tal com podem veure en la gràfica, el punt d’intersecció és P (3, –2). Comprovem que, efectivament, x = 3 i y = –2 és la solució comuna a les dues equacions donades:

5.1 L’equació de 2n grau Una equació de segon grau amb una incognita és una equació que es pot expresser de la forma ax2 + bx + c = 0, on a, b i c són nombres reals i diferents a 0. Si b i c són diferents de zero, l’equació s’anomena complete. Si b = 0 ó c = 0, l’equació s’anomena incomplete. Ara resoldrem les equacions de segon grau incompletes:

5.1 L’equació de 2n grau CAS 1. b = 0 i c = 0. Resol l’equació 3x2 = 0 3x2 = 0; x2 =0/3; x = 0. L’única solució és x = 0. CAS 2. c = 0. Resol l’equació 2x2 +8x = 0 1r. Traiem factor comú x: x · (2x + 8) = 0 2n. Perquè un producte de dos factors valgui zero, un dels dos factors ha de ser zero. Per tant: x · (2x + 8) = 0 x = 0 2x + 8 = 0, 2x = -8, x = -8/2; x = -4 Té dos solucions. Una és x=0 i l’altra és x=-4

5.1 L’equació de 2n grau CAS 3. b = 0. Resol l’equació 2x2 – 12 = 0. 1r. Escrivim l’equació d’una altra manera: 2x2 =12 2n. Aïllem x2 = 12/2 ; x2 = 6; x = ±√6 Hi ha dues solucions, x = 6 i x = - 6 Equació de segon grau incompatible. No totes les equacions de segon grau tenen solució. Si ens dona l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, serà una equació incompatible. x2 + 9 = 0 ; x2 = -9 ; x = ± −9 Activitats 84-90

5.1 L’equació de 2n grau CAS 4. Ni b = 0 ni c = 0. Resol l’equació ax2 + bx + c = 0. 1r. Apliquem: x = − 𝑏± 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 És a dir, farem x = − 𝑏+ 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 ; i x = − 𝑏 − 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 Per exemple 3x2 - 5x - 2 = 0 a = 3 ; b = -5; c = -2 x = − (−5)± −52−4·3·(−2) 2·3 = 5± 49 6 = 5±7 6 = 5+7 6 = 12 6 = 2 = 5−7 6 = −2 6 = −1 3

5.1 L’equació de 2n grau CAS 4. Ni b = 0 ni c = 0. Resol l’equació ax2 + bx + c = 0. Nombre de solucions: Allò que observem dins de l’arrel s’anomena el discriminat de l’equació b2 – 4·a·c = Z El nombre de solucions depèn del signe de Z. Si Z > 0, l’equació té dues solucions: x = − 𝑏+ 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 ; i x = − 𝑏 − 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 Si Z = 0, només hi ha una solució. x = − 𝑏± 𝑏2−4 𝑎𝑐 2𝑎 = x = − 𝑏± 0 2𝑎 = − 𝑏±0 2𝑎 = − 𝑏 2𝑎 Si Z < 0, l’expressió 𝑍 no té sentit (no es pot fer arrel de nombres negatius) Per tant, aquesta equació no té solució.

5.2 L’equació biquadrada Les equacions biquadradres són equacions de quart grau sense membres de grau impar. ax4 + bx2 + c = 0 Per resoldre equacions biquadrades, efectuem el canvi x2 = t, x4 = t2, amb el qual generem una equació de segón grau amb la incógnita t. at4 + bt2 + c = 0 Per cada valor positiu de t hi haurà dos valors de x. x = ± 𝑡

5.2 L’equació biquadrada

5.3 L’equació irracional Les equacions irracionals són aquelles en les quals la incógnita apareix en el radicand d’una arrel quadrada. Per resoldre aquest tipus d’equacions cal seguir els passos següents: 1r. El terme que conté l’arrell es deixa aïllat en un dels membres. Si n’hi ha dues se’n situarà una a cada membre. 2n S’eleva al quadrat els dos membres de l’equació. 3r Es resol l’equació que queda. 4rt Es comproven les solucions obtingudes en l’equació inicial. Exemple ; ; ;