π) z = 3 S f : D  R S = graf g ?? S  π S  π (x;y)  f(x;y)=3 PROBLEMA “resuelto”: hallar el volumen de un cuerpo con caras “ planas” Ejemplo : volumen paralelepípedo  VP = área base x altura VP = ( l1 x l2 ) x h l1 = l2 = 1; h = 3  VP = 3 (x; y) D  f(x;y) = 3  VP = área D x f(x;y) z = g(x;y) / g(x;y) =3 S = graf g ?? π) z = 3 3 S  π S  π S f : D  R (x;y)  f(x;y)=3 f (x;y)= 3 h 1 y D = [ 1;2 ] x [ 1; 2] 2 1 x 2 D S = graf f (x;y)

h = z  cte z = f(x;y) = x2 + y2+1 Volumen del f (x;y)= 5.10 PROBLEMA : hallar el volumen de un cuerpo con caras “no planas”. Ejemplo : cuerpo cuya “tapa” viene dada por: z = f (x;y) / f (x;y) = x2 + y2 +1 h = z = cte V = area D x z h = z  cte z = f(x;y) = x2 + y2+1 (1.9;1.5)  z = 6.86 (1.1;1.7)  z = 5.10 Volumen del cuerpo ???? f (x;y)= 5.10 f (x;y)= 6.86 1 y y 2 1 x x 2 D

PROBLEMA : hallar el volumen de un cuerpo con caras “no planas”. Ejemplo : cuerpo cuya “tapa” viene dada por: z = f (x;y) / f (x;y) = x2 + y2 +1 h = z = cte V = area D x z Paralelepípedo: P1 (1 ;1)  z = 3 VP1 = area D x z VP1 = 1 x 3 = 3 Si V = vol. cuerpo  VP1 < V  3 < V 3 1 D 2 1 2

f (x;y) = x2 + y2 +1 VP1 < V < VP2  3 < V < 9 D h = z = cte V = area D x z f (x;y) = x2 + y2 +1 Paralelepípedo: P2 (2 ;2)  z = 9 VP2 = area D x z VP2 = 1 x 9 = 9 Si V = vol. cuerpo VP1 < V < VP2  3 < V < 9 9 3 1 2 1 2 D

f (x;y) = x2 + y2 +1 V  6 Paralelepípedo: P3 (1 ;1)  z = 3 VP3 = area D1 x z VP3 = ½ x 3 = 3/2 Paralelepípedo: P4 (2 ;2)  z = 9 VP4 = area D2 x z VP4 = ½ x 9 = 9/2 VP3 + VP4 = 6 V = vol. cuerpo V  6 9 P4 3 P3 1 3/2 2 1 2 D1 D2

con D, conjunto del plano xy Sea f : D  R (x;y)  z = f (x;y) y x = b x = a y = d d R con D, conjunto del plano xy D Si:  c = mínimo φ1 en [a;b]  d = máximo φ2 en [a;b] Las rectas y=c ; y=d determinan el rectángulo R ; tal que D  R D Δyj Δxi n 1 Damos:  Px ; partición de [a ; b]  Py ; partición de [c ; d] c y = c Obtenemos:  P; partición de D P red de rectángulos contenidos en D y numerados de “1” a “n” . x Ak  P = {A1 ; A2 ; ………. ; An } área Ak = ΔAk = Δxi Δyj

D d R  Py ; partición de [c ; d] | P|  Norma de P = δ Sea f : D  R (x;y)  z = f (x;y) y x = b x = a y = d d R Damos:  Px ; partición de [a ; b]  Py ; partición de [c ; d] D Obtenemos:  P; partición de D  P = {A1 ; A2 ; ………. ; An } D Δyj Δxi n 1 | P|  Norma de P = δ mayor diagonal entre todas las diagonales de los A k c y = c x Ak δ

D d R | P|  Norma de P = δ mayor diagonal entre todas las Sea f : D  R (x;y)  z = f (x;y) y x = b x = a y = d d R  P = {A1 ; A2 ; ………. ; An } D ΔAi = Δxi Δyi | P|  Norma de P = δ mayor diagonal entre todas las diagonales de los ΔA k Qk D Δyj Δxi n 1 Q  Selección de puntos compatibles con P . Q = { Q1 ; Q2 ; …….… ; Qn } Qk (xi ; yj)  A k δ c y = c x Qk(xi ; yj) Ak

Q = { Q1 ; Q2 ; …….… ; Qn } Qk (xi ; yj)  Ak Ak D Sea f : D  R Pk (xi ; yj ; zk ) S Sea f : D  R (x;y)  z = f (x;y) S = graf f  P = {A1 ; A2 ; ………. ; An } ΔAk = Δxi Δyj Q = { Q1 ; Q2 ; …….… ; Qn } Qk (xi ; yj)  Ak zk = f (Qk) PPk  paralelepípedo  base: Ak  altura: z k = f (Qk ) tal que Qk  Ak  Vk = volumen PPk Vk = ΔAk x f (Qk ) V  vol. del cuerpo base D V  PPk Ak    Qk(xi ; yj)     D x

12 12

Recordando:

DEFINICIÓN

 Q = { Q1 ; Q2 ; …….… ; Qn } / Qk (xi ; yj)  A k / z = f (x;y)  P = {A1 ; A2 ; …. ; An} ; ΔAk = Δxi Δyj (área Ak)  Q = { Q1 ; Q2 ; …….… ; Qn } / Qk (xi ; yj)  A k

DEFINICIÓN

2(x*) 2(x) 1(x) 1(x*) 20.1.2 DEFINICIONES: P P (a) Recinto Tipo I  RI ; región del πxy definida como sigue: RI = { P(x ; y) / a  x  b ; 1 (x)  y  2(x) } 2(x*) 2(x) y P x* P 1(x) 1(x*)

ψ2(y) ψ1(y) d RII c 20.1.2 DEFINICIONES: P ψ2(y*) ψ1(y*) Recinto Tipo II  RII ; región del πxy definida como sigue: RII = { (x; y) / c  y  d ; ψ1(y)  x  ψ2 (y) } ψ2(y) ψ1(y) d RII y* x P c ψ2(y*) ψ1(y*)

f : D R / z = f (x; y) D D cte g(x) D cte h(y)

Teorema de Fubini: Sea una región D del plano xy limitada por las rectas x = a y x = b , con a<b, y por las rectas y = c y y = d , siendo tales que c  d  x  [a; b] D = { (x ; y) / a  x   b ; c  y  d }

ψ2(y) d ψ1(y) c Propiedad aditiva respecto de la región de integración Sea f un campo escalar integrable en una región D del plano, si donde D1 y D2 no se intersecan, excepto quizás en sus fronteras, entonces: D D ψ2(y) d D1 D2 ψ1(y) D1 D2 c

Otras Propiedades de la Integral Doble 1. Propiedad de linealidad Sean f y g dos campos escalares integrables en una región D del plano, y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces: 2. Propiedad de orden Sean f y g dos campos escalares integrables en una región D del plano, tales que , entonces: 3. Si f(x;y)=1  (x;y) de D de tipo I

Interpretación geométrica de la Integral doble como volumen

Definición: Sea f una función de dos variables, continua en un recinto D del plano xy. Si f(x;y)0 para todo (x;y) de D, entonces el volumen V del sólido que se encuentra por debajo de z=f(x;y) y por encima de D, es igual a la integral doble de f (x;y) extendida sobre D 27

Interpretación geométrica de la integral iterada Si f(x;y) 0 (x;y) de D, siendo D = { (x ; y) / } La intersección de la superficie z=f(x;y) con un plano x=x, es una curva K K D y= h(x) y= g (x) El área de la superficie plana que se halla por debajo del segmento de curva K y por encima del plano xy, está dada por A(x) Volumen del sólido de caras paralelas cuya área es y de espesor  Volumen del sólido por debajo de la superficie z= f(x;y) por encima de D =V(S) 28

S Sol. =