Cuerpos geométricos.

Presentación del tema: "Cuerpos geométricos."— Transcripción de la presentación:

1 Cuerpos geométricos

2 Cuerpos geométricos Cuerpos geométricos son regiones del espacio limitadas por superficies planas y curvas , o solamente curvas

3 Los cuerpos geométricos se diferencian de los cuerpos planos porque poseen volumen, es decir, tienen tres dimensiones: Largo Ancho Alto

4 Por ejemplo: Alto Ancho Largo

5 Armar un cuerpo geométrico
A partir de una plantilla, podemos armar un cuerpo geométrico. Necesitaremos: Plantilla Tijeras Pegamento

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7 Pegamento Pegamento

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9 3. LA FÓRMULA DE EULER La fórmula de Euler indica que si C representa el número de caras del poliedro, A representa el número de aristas y V representa el número de vértices del poliedro entonces se cumple que C + V – A = 2. Para llevar a cabo esta clase es necesario que los estudiantes conozcan los cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Es necesario que conozcan los conceptos de vértice, arista y cara de un poliedro.

10 Si tomamos un cubo cualquiera este tendrá 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. C = 6, V = 8, A = 12 de donde fácilmente vemos que C + V + A = – 12 = 2 Si hacemos un corte en una esquina obtenemos poliedro irregular. C = 7, V = 10, A = 15, vemos que al aplicar la fórmula se produce el mismo resultado, 2. 

11 4. POLIEDROS IRREGULARES
4.1 Prisma

12 4.1 El prisma: Definición: Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos. Un prisma se llama recto cuando las caras laterales son rectangulares, sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. El prisma rectangular, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente. 

13 Los elementos de un prisma son:
Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta. Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. 

14 Volumen: El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por la distancia entre ellas: V = volumen, Ab  = área de la base es decir del polígono de la base, h = altura V = Ab x h Si la base es un cuadrado: Si la base es un pentágono: A = (perímetro x apotema) / 2 Área lateral: el área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma.  AL = P x h Perímetro: Para conocerlo debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Área total: es igual al área lateral más el área de los polígonos de las dos bases. AT = AL + 2 x Ab

15 4.2 La pirámide

16 4.2 La pirámide: Definición: Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Los elementos de la pirámide: La base: es la cara en la que se apoya la pirámide. Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

17 V pirámide = Volumen prisma 3 = A B · h 3
Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Los apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide. Volumen: Para calcular el área total habrá que sumar al área lateral el área de la base: A T = perímetro de la base · h 2 + perímetro de la base · a 2 A T = A L + A B = n · l · h 2 + P B · a 2 Área: El volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma. V pirámide = Volumen prisma 3 = A B · h 3

18 Tipos de pirámides según sea el polígono de su base:

19 5. POLIEDROS REGULARES: 5.1 Tetraedro

20 5.1 Tetraedro: Definición: Es un poliedro de cuatro caras, todas iguales, siendo cada una un triángulo equilátero. Sus partes principales son: Cara: cada uno de los cuatro triángulos equiláteros que definen al tetraedro regular. Puede dibujarse a partir de una arista. Vértice: punto al que concurren tres aristas. En total hay cuatro. Arista: segmento que une dos vértices. En total hay seis.

21 Aristas opuestas: son dos aristas que no se cortan.
Eje: recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta a él. Centro de cara: punto de intersección entre un eje y la cara perpendicular a él. Es también el centro de gravedad de la cara. Punto medio de arista: es el punto medio entre los dos vértices que limitan a una arista. Altura de cara: segmento definido por un vértice y un punto medio de una arista no concurrente a él. 

22 Área: Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equiláteros, podemos hallar el área de un triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

23 3.2 Cubo

24 3.2 Cubo: Definición: El cubo es un poliedro regular ya que en estos sus caras son polígonos regulares iguales.  Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Características: Tiene 6 caras. Tiene 12 aristas. Tiene 8 vértices. Tiene 3 caras concurrentes en cada vértice.

25 Volumen: El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres; podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: V = a3. El volumen a x a x a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara basal a x a por la altura a, es decir: V = a x a x a= (a x a ) x a =  a2 x a  =  a3 Área: el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), mediante: Área de una cara:

26 5.3 El octaedro

27 5.3 El octaedro: Definición: Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Características del octaedro:  Número de caras: 8. Número de vértices: 6. Número de aristas: 12.

28 Área: Y el área total de sus caras A (que es 8 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:
Volumen: Dado un Octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

29 5.4 Dodecaedro

30 5.4 Dodecaedro: Definición:Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

31 Características: Tiene 12 caras.
Los polígonos que forman las caras son pentágonos regulares. Tiene 30 aristas. Tiene 20 vértices

32 Volumen: un dodecaedro de arista A, le podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:
Área: el área total de sus caras A (que es 12 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

33 5.5. Icosaedro

34 5.5 Icosaedro: Definición: Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. Características: Tiene 30 aristas, Tiene12 vértices, Tiene 5 caras concurrentes, Tiene 3 vértices contenidos en cada cara.

35 Volumen: Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: Área: el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

36 6. LOS CUERPOS REDONDOS 6.1 El cilindro:

37 6.1 El cilindro: Definición: Un cilindro es una figura geométrica limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos que la cortan en sus bases. Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el giro de una superficie rectangular alrededor de uno de sus lados. El eje del cilindro es la recta que pasa por los centros geométricos de las bases; es paralelo a la generatriz.

38 Los cilindros pueden ser:
Cilindro recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases. Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases. Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Cilindro de revolución recto: si el eje es perpendicular a las bases. Cilindro de revolución oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases  

39 Área de la superficie cilíndrica: El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral más la superficie de las dos base. En un cilindro recto de base circular, es: Área lateral: es el área de la superficie lateral de un cuerpo de revolución. AL = 2 · p · r · g

40 Volumen: El volumen es la capacidad que tiene ese cuerpo geométrico
Volumen: El volumen es la capacidad que tiene ese cuerpo geométrico. El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro. El volumen de un cilindro de base circular, es: Un rectángulo al girar origina un cilindro:

41 6.2 El cono

42 6.2 El cono: Definición: El cono es un cuerpo geométrico generado por el giro de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos .Al circulo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice. Tipos de conos: Se denomina cono recto si el vértice equidista de la base circular.

43 Cono elíptico si la base es una elipse.
Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base. Cono elíptico si la base es una elipse.

44 Área total: Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base
Área lateral: El área lateral es igual a p (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz (g) del cono): AL = p · r · g Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a: Área total: Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base Área de la base: A = Π·R2 Volumen: Volumen = A. Base · Altura

45 6.3 La esfera

46 6.3 La esfera: Definición: Una esfera, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. Es decir, la distancia al centro desde cualquier punto de la esfera es siempre la misma. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.

47 Características: La esfera tiene un radio. Una superficie curva.
Un centro. Un diámetro. Una circunferencia máxima. Un eje de giro.

48 Volumen: El volumen de una esfera de radio, r, es
V = 4·π·r3/3 Superficie: La superficie de una esfera de radio, r, es S = 4·π·r2 Área: El área de una superficie esférica de radio r, es: