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Publicada porpriscilla astorga Modificado hace 6 años
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Clase Función cuadrática cuadrática
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Función cuadrática Definición Es de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c Ejemplos: y su representación gráfica corresponde a una parábola a) Si f(x) = 2x 2 + 3x + 1 b) Si f(x) = 4x 2 – 5x – 2 a = 2, b = 3 y c = 1 a = 4, b = – 5 y c = – 2 con a 0; a, b, c IR
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Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y x y c (0, c) Función cuadrática
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Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo Función cuadrática
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Concavidad Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0, – 4) y es cóncava hacia arriba. x y Ejemplo: En la función f(x) = x 2 – 3x – 4, a = 1 y c = – 4. (0, – 4) Función cuadrática
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Eje de simetría y vértice El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. x y Eje de simetría Vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. Función cuadrática
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Si f(x) = ax 2 + bx + c, entonces: b) Su vértice es: a) Su eje de simetría es: 2a V = –b, f –b 4a –b, 4ac – b 2 2a V = –b 2a x = Eje de simetría y vértice Función cuadrática
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Ejemplo: 2·1 –2 –2 x = En la función f(x) = x 2 + 2x – 8, a = 1, b = 2 y c = – 8, entonces: V = (– 1, f(– 1) ) a) Su eje de simetría es: x = – 1 b) Su vértice es: V = (– 1, – 9) 2a –b –b x = –b, f –b 2a V = Eje de simetría y vértice Función cuadrática
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f(x) V = (– 1, – 9 ) x = – 1 Eje de simetría: Vértice: Eje de simetría y vértice Función cuadrática
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Eje de simetría y vértice Nota:Si la parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo y si la parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo. Función cuadrática
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Discriminante Al igual que en la ecuación de segundo grado, el discriminante de una función cuadrática se define como: Δ = b 2 – 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 Función cuadrática
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b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0 Discriminante Función cuadrática
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c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente a él. Δ = 0 Discriminante Función cuadrática
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x2x2 x1x1 Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si estas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax 2 + bx + c con el eje X. Relación entre función y ecuación cuadrática Función cuadrática
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Ejemplo: Para determinar los puntos de intersección con el eje X de la función f(x) = x 2 – 2x – 15, se debe resolver la ecuación cuadrática x 2 – 2x – 15 = 0, ya que la curva corta al eje X cuando f(x) es cero. Función cuadrática Relación entre función y ecuación cuadrática Como x 2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5) (x + 3)(x – 5) = 0 Luego, las soluciones o raíces de la ecuación son x 1 = – 3 y x 2 = 5, debido a que un producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. Por lo tanto, los puntos de intersección de la parábola f(x) = x 2 – 2x – 15 con el eje X son (– 3, 0) y (5, 0).
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