GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

Presentación del tema: "GEOMETRÍA EN EL ESPACIO"— Transcripción de la presentación:

1 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
PROPIEDADES MÉTRICAS

2 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
El ángulo formado por dos rectas es el ángulo que forman sus vectores dirección RECTAS COPLANARIAS u s  v r En cualquiera de los casos: RECTAS QUE SE CRUZAN s v PERPENDICULARIDAD r  s  u  v  u·v = 0  ux·vx + uy·vy + uz·vz = 0 u  r

3 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
EJEMPLO 1. Calcula el ángulo que forma la recta r : x = y = z con la recta s: Pasamos la ecuación de la recta s a forma paramétrica: Ahora podemos determinar el vector dirección de cada recta: r: u(1, 1, 1) s: v(1, 0, 1) u·v = 1·(1) + 1·0 + 1· 1 = 1 + 1 = 0 Las rectas son PERPENDICULARES EJEMPLO 2. Calcula el ángulo que forman las rectas: Pasamos la ecuación de la recta r a forma paramétrica. Observamos que, sumando las dos ecuaciones, se tiene x = 2. Por tanto: r: u(0, 1, 1) s: v(1, 3, 4) u·v = 0·1 + 1·(3) + 1·4 = 1   82º 1’ 44”

4 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
VECTOR CARACTERÍSTICO DE UN PLANO Vector característico de un plano  es cualquier vector perpendicular a él. Se llama característico porque, fijado un punto P(x1, y1, z1)   determina la ecuación del plano. u(A, B, C) En efecto, dado un punto genérico de  X(x, y, z), el vector será perpendicular a u, y por tanto su producto escalar será nulo: X P (A, B, C) · (x – x1, y – y1, z – z1) = A (x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 Es decir Ax + By + Cz + D = 0, ecuación implícita del plano , donde D = –Ax1 – By1 – Cz1 Recíprocamente, si un plano tiene por ecuación x + y + z +  = 0, el vector definido por (, , ) es ortogonal a dicho plano y, por tanto, vector característico.

5 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
VECTOR CARACTERÍSTICO DE UN PLANO Si un plano  viene dado por sus ecuaciones paramétricas: u Es facil observar que un vector característico del mismo puede obtenerse sin más que realizar el producto vectorial u = vxw w v ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Dados los planos  y ’, podremos identificar sus vectores característicos u y w. Observamos que el ángulo formado por los planos  y ’ es el mismo que el que forman u y w.  w u Por tanto:   ’

6 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
EJEMPLO 1. Halla el ángulo formado por los planos de ecuaciones: : 3x – y + z = 2 ’: x + 2y + 4z = 1   u( 3, – 1, 1) ’  v(1, 2, 4) u·v = 3·1 + (1)·2 + 1·4 = 3 2 + 4 = 5   70º 47’ 36” EJEMPLO 2. Dados los planos de ecuaciones : x + 3y – 2z = 5 y ’: x + my – z = 1, halla el valor de m para que sean perpendiculares.   u( 1, 3, –2) ’  v(1, m, – 1) u·v = 1·1 + 3·m + (–2)·(– 1) = 3 + 3m Los planos serán perpendiculares si este producto escalar es cero, por tanto, debe verificarse que 3 + 3m = 0. Es decir, el valor buscado es m = 1

7 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
El ángulo que forma una recta r con un plano  es igual al ángulo que forman la recta r y su proyección r’ sobre el plano . u(A, B, C) u(A, B, C): vector característico del plano  v  r’ v(vx, vy, vz): vector dirección de la recta r  r Observamos que el ángulo  es complementario del que forman u y v. Por tanto:

8 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
EJEMPLO 1. Dados el plano y la recta : x + my – z + 1 = 0; r: Calcula: a) Valores de m para que r y  sean paralelos y perpendiculares. b) El ángulo que forman r y  en función del parámetro m r Vector característico del plano : u(1, m, 1) w” w’ v La recta r viene expresada como intersección de dos planos, por lo que su vector dirección, también puede obtenerse a partir del producto vectorial de los vectores característicos de dichos planos: (1, 2, 0) y (2, 2, 1) ” ’ a) Para que r y  sean perpendiculares debe verificarse que: Para que r y  sean paralelos debe verificarse que: u·v = 0  1·(2) + m·(1) + (1)·2 = 0  m  4 = 0  m =  4 b)

9 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO
Dado un punto P y un plano , se llama proyección ortogonal de P sobre , a un punto P’   que se obtiene como intersección de  y la recta perpendicular a dicho plano desde P. P(x1, y1, z1) : Ax + By + Cz + D = 0 r P u u(A, B, C) P’  Las coordenadas de P’ se obtendrán de sustituir en las ecuaciones de r el valor de  que nos proporciona la ecuación: A(x1 + A) + B(y1 + B) + C(z1 + C) + D = 0. Es decir:

10 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
Dada una recta r y un plano , se llama proyección ortogonal de r sobre , a una recta r’   que se obtiene como intersección de  con el plano ’ perpendicular a él que contiene a la recta r. r ’ v : Ax + By + Cz + D = 0 u r’  v(a, b, c) u(A, B, C) ’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Por tanto, las ecuaciones de la proyección ortogonal de r sobre el plano  vendrá dada por las ecuaciones:

11 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
EJEMPLO 1. Halla la proyección ortogonal de la recta r: sobre el plano : x + y – z = 4 Buscamos primero los vectores característico del plano y dirección de la recta, que son respectivamente: u(1, 1, 1) v(4, 1, 1) Estos dos vectores determinarán el plano perpendicular a  que contiene a la recta r. Para fijarlo, necesitamos también un punto del mismo. Elegiremos un punto de la recta dada, que obtenemos de sus ecuaciones: P(1, 2, 3) Por tanto, ’:  y + z – 1 = 0 Así pues, la proyección de r sobre  tiene de ecuaciones:

12 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x1, y2, z2), la distancia entre A y B coincide con el módulo de un vector que los una. Por tanto: PROPIEDADES d(A, B) = 0  A  B d(A, B) = d(B, A) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (desigualdad triangular) EJEMPLO 1. Dados los puntos A(1, 2, 3) y B(1, 2, 1), ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual distancia de ambos? Consideramos un punto genérico X(x, y, z) e imponemos la condición: d(A, X) = d(B, X) Elevamos al cuadrado ambos miembros y reducimos: z – 2 = 0, que es la ecuación de un plano que se llama plano mediador del segmento de extremos A y B.

13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sean el punto P(x1, y1, z1) y el plano : Ax + By + Cz + D = 0. La distancia del punto P al plano  es la distancia de P a su proyección ortogonal sobre , es decir, d(P, ) = d(P, Q) = P u Supongamos que Q(x2, y2, z2). Entonces, el vector = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) Q  Sea el vector característico de : u(A, B, C) Vemos que u· = (A, B, C)· (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = Ax2 + By2 + Cz2 – (Ax1 + By1 + Cz1) Pero, por ser Q  , Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0  Ax2 + By2 + Cz2 =  D Por tanto u· = – (Ax1 + By1 + Cz1 + D) [*] Por otra parte u· = |u|·d(P, Q)·cos180º =  |u|·d(P, ) [**] De donde, igualando [*] y [**], y despejando, se tiene que:

14 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
EJEMPLO 1. Dados los puntos A(2, 3, 0), B(0, 0, 1), C(0, 1, 0) y D(1, 2, 1), halla la distancia del punto A al plano deteminado por los puntos B, C y D. Plano deteminado por los puntos B, C y D:  : x – y – z + 1 = 0

15 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
Sean : Ax + By + Cz + D = 0 y ’: Ax + By + Cz + D’ = 0 dos planos paralelos. P d(P, ’) Dado un punto P cualquiera, podemos ver que: d(, ’) = d(P, ) – d(P, ’) = ’ d(P, )  EJEMPLO 1. Halla la distancia entre los planos paralelos : 3x + 2y + z – 6 = 0 y ’: 3x + 2y + z + 1 = 0. Observamos que D =  6, y D’ = 1. Por tanto tenemos que d(, ’) = Un procedimiento alternativo consiste en elegir un punto P contenido en uno de los planos y calcular la distancia al otro. Elegimos un punto cualquiera de . Tomamos x = y = 0 y despejamos z = 6.  P(0, 0, 6) Así, pues, d(, ’) = d(P, ’) =

16 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA
Sean el punto P(x1, y1, z1) y la recta r caracterizada por el punto A(x2, y2, z2) y el vector v (a, b, c) P Consideremos el vector d(P, r) Queda definido un paralelogramo cuya área viene dada por el módulo del producto vectorial de dicho vector con v: A v r Pero, por otro lado, el área también es el producto de la base por la altura, es decir: Área = |v|·d(P, r) |v|·d(P, r) Combinando ambas expresiones: DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas r y r’, se toma un punto P de la recta r y se calcula la distancia desde P a r’.

17 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA
EJEMPLO 1. Calcula la distancia del punto P(1, 2, 1) a la recta de ecuaciones: Tomamos z como parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta r: Ahora es fácil obtener un punto de r y un vector dirección: A(1, 1, 0) v(2, 1, 1) Por otra parte:

18 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a s que contiene a r y el plano paralelo a r que contiene a s Cada una de las rectas viene caracterizada por un punto y un vector: r: A(x1, y1, z1) u(ux, uy, uz) s: B(x2, y2, z2) v(vx, vy, vz) v B d(r, s) s r Consideremos un tercer vector u A Los tres vectores enmarcan un paralelepípedo cuya altura es la distancia que buscamos calcular. Volumen del paralelepípedo = Por otra parte: Volumen del paralelepípedo = Área de la base x altura = |u  v| · d(r, s) Combinando ambas expresiones para el volumen, se tiene que:

19 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
EJEMPLO 1. Calcula la mínima distancia entre las rectas de ecuaciones: Pasamos a paramétricas las ecuaciones de s: Ahora asociamos punto y vector a cada recta r: A(1, 1, 5) u(1, 2, 7) s: B( 1/7, 4/7, 0) v(0, 0, 1) Consideremos el vector = ( 1/7 – 1, 4/7 – 1, 0 – 5) = (–8/7, –3/7, –5)  0, por lo que, r y s se cruzan Por tanto:

20 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Se llama perpendicular común de dos rectas r y s que se cruzan a la recta t que corta ortogonalmente a cada una de ellas. Cada una de las rectas viene caracterizada por un punto y un vector: r: A(x1, y1, z1) u(ux, uy, uz) s: B(x2, y2, z2) v(vx, vy, vz) t v B s w r u A La dirección de la recta t vendrá dada por el vector w = u  v, que es perpendicular común a u y v. Definiremos la recta t como intersección de dos planos  y ’. Plano  determinado por {A, u, w}. Plano ’ determinado por {B, v, w}. De manera que las ecuaciones de la perpendicular común serán: t: {A, u, w} {B, v, w}

21 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
EJEMPLO 1. Halla la perpendicular común a las rectas de ecuaciones: Pasamos a paramétricas las ecuaciones de s: Ahora asociamos punto y vector a cada recta r: A(1, 1, 5) u(1, 2, 7) s: B( 1/7, 4/7, 0) v(0, 0, 1) Vector perpendicular común: w = u  v = Plano  determinado por {A, u, w}: Plano ’ determinado por {B, v, w}: Por tanto, las ecuaciones de la perpendicular común son:

22 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
MÉTODO DE LOS PUNTOS GENÉRICOS Son conocidas las ecuaciones de las rectas r y s: v Q s P u r Sean los puntos P = r  t y Q = s  t Como P  r, m/ P(x1 + am, y1 + bm, z1 + cm) Como Q  s, n/ Q(x2 + dn, y2 + en, z2 + fn) Consideramos el vector que une P y Q: ( x2 – x1 + dn – am, y2 – y1 + en – bm, z2 – z1 + fn – cm) Los valores de m y n quedarán determinados imponiendo las condiciones: Una vez hallados estos valores de m y n, tendremos las coordenadas de los puntos P y Q, y por tanto, podremos escribir las ecuaciones de la recta que los une, es decir, de la recta t perpendicular común.

23 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
EJEMPLO 2. Halla, por dos métodos diferentes, la perpendicular común a las rectas de ecuaciones: MÉTODO 1: Intersección de dos planos Asociamos punto y vector a cada recta r: A(0, 1, 1) u( 1, 1, 1) s: B(2, 0, 1) v(2, 0, 1)

24 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
EJEMPLO 2. Halla, por dos métodos diferentes, la perpendicular común a las rectas de ecuaciones: MÉTODO 2: Puntos genéricos Tomamos un punto genérico de la recta r: P(m, 1 + m, 1  m) y un punto de la recta s : Q(2 – 2n, 0, 1 + n) Consideramos el vector que une P y Q: (2 – 2n – m, –1 – m, 2 + n + m) Hacemos que se verifiquen las condiciones: (2 – 2n – m, –1 – m, 2 + n + m)·(1, 1, –1) = 2 – 2n – m –1 – m – 2 – n – m = 0  3n – 3m = 1 (2 – 2n – m, –1 – m, 2 + n + m)·(2, 0, 1) = 4 + 4n + 2m n + m =  5n + 3m = 2 Resolvemos este sistema de ecuaciones y resultan: Llevamos estos valores a las ecuaciones de r y s respectivamente y resultan: Hallamos ahora las ecuaciones de la recta t que pasa por estos puntos:

25 FIN PROPIEDADES MÉTRICAS