LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE GRADUADOS MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Marisel Beteta Carolina Reaño Jenny Rios Isabel Torres Profesor: Jesús Alejandro Ortiz Fernández

EUCLIDES

Sus trabajos se centran en GEOMETRÍA Nació en Grecia (325 a.C.) Se educó en Atenas Sus trabajos se centran en GEOMETRÍA Funda la primera escuela en Alejandría Es un hombre de notable amabilidad y modestia. Murió en Alejandría (265 a.C.)

LOS ELEMENTOS Es una compilación de obras de otros autores. Los teoremas que se mencionan no son propios. Está compuesta de 13 libros Los seis primeros tratan de la geometría elemental, recogen técnicas geométricas para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas y la teoría de proporción. Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas.

Los tres restantes se ocupan de la geometría de sólidos , construcción de cinco poliedros regulares y sus circunferencias circunscritas Los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes Los elementos ha tenido mas de 1000 ediciones , la primera fue en 1482, esto afirma que Euclides es el matemático más leído de la historia

LOS 5 POSTULADOS

Este postulado es conocido con el, nombre de postulado de las paralelas y también se enunció más tarde así: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclidianas.

GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

QUINTO POSTULADO NUEVAS GEOMETRÍAS Demostración de las proposiciones sin usarlo Evitar su uso Búsqueda de no aplicación del postulado en los axiomas NUEVAS GEOMETRÍAS

Rectas Geometría esférica Planos Figuras geométricas Puntos Segmentos

Arco de un círculo grande Distancia más corta Arco de un círculo grande

puntos de intersección Paralelismo Dos rectas esféricas siempre tienen 2 puntos de intersección

Suma de ángulos Es mayor de 180°

APORTES DE EUCLIDES

APORTES DE EUCLIDES A través de “Los Elementos” expone uno de los primeros sistemas matemáticos que se abstrajo de los problemas concretos. Se comienza a exponer la matemática como una ciencia deductiva, que a partir de axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Los Elementos es el texto matemático con mayor impacto en la humanidad.

APORTES DE EUCLIDES Realizó una certera selección y ordenación lógica de conocimientos matemáticos. Destaca la variedad y riqueza de los métodos de demostración empleados. A raíz de su quinto postulado, durante siglos irrebatible, generó la controversia que luego dio lugar a las llamadas geometrías no euclidianas.

EUCLIDES = GEOMETRÍA EUCLIDES ES CONSIDERADO COMO UNA RAMA DEL SABER MAS QUE COMO UN HOMBRE. EUCLIDES EN EL MUNDO EN QUE VIVIMOS ES “LA GEOMETRÍA”.

PITÁGORAS - EUCLIDES Antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos, un tío mío me había contado, a los 12 años, el Teorema de Pitágoras. [...] Es maravilloso que un hombre como Euclides sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento. A.Einstein.

La sutileza de las demostraciones de Euclides son un ejemplo de la mejor Geometría.

TEOREMA DE PITÁGORAS ¿tienen la misma área? DAC DAB ACK AHK Actividad

DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Propuesta es que, por medio de experiencias manuales significativas, se hacen “descubrimientos” que llevan al establecimiento de conjeturas, las cuales posteriormente se demuestran. El aprendizaje de la geometría se concibe como una actividad y no como un conjunto de contenidos a retener, la comprensión no se alcanza con la información dada sino a través de la experiencia.

MODELOS A SEGUIR Cualquier modelo didáctico que se proponga ha de basarse en investigaciones previas acerca del razonamiento geométrico y en investigaciones didácticas acerca de la construcción de conceptos geométricos en la escuela.

PROPUESTA DE LOS ESPOSOS VAN HIELE Es posible encontrar diferentes niveles de perfección en el razonamiento de los estudiantes en geometría Un estudiante sólo podrá comprender realmente cuando el profesor le enseñe a su nivel de razonamiento. PROPUESTA DE LOS ESPOSOS VAN HIELE No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma sólo se aprende a razonar mediante la propia experiencia. Los profesores tengan en consideración la capacidad de razonamiento de sus alumnos al decidir la forma y el rigor de sus cIases.

Niveles de Razonamiento Visualización o reconocimiento NIVEL 1 Análisis Niveles de Razonamiento NIVEL 2 Ordenamiento NIVEL 3 Deducción formal NIVEL 4 Rigor

METODOLOGÍA Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 INFORMACIÓN ORIENTACIÓN DIRIGIDA Fase 3 EXPLICITACIÓN ORIENTACIÓN LIBRE Fase 4 Fase 5 INTEGRACIÓN

PROPUESTA DE TRABAJO EN EL AULA

PROYECTO: LA DIVINA PROPORCION Dirigido a: Alumnos del segundo año de educación secundaria Modalidad del trabajo: Grupal (3 integrantes) Duración: 3 sesiones de clase.

METODOLOGÍA DE TRABAJO PRIMER PASO: INFORMACIÓN Los alumnos aprecian dos videos acerca de la Razón Áurea. (Propuesta de Walt Disney) http://www.youtube.com/watch?v=7h8dNH9Xnfg&feature=related El número de Oro http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc&feature=related Se lee junto al profesor la ficha de trabajo.

SEGUNDO PASO:ORIENTACIÓN DIRIGIDA Con ayuda de la cinta métrica y la realización de algunos calculos llenan el siguiente cuadro: Estudiante Estatura (a) Longitud delombligo hasta planta del pie (b) Longitud dela cima de la cabeza hasta el ombligo (c) a/b b/c ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir de los siguientes resultados?

TERCER PASO:EXPLICITACIÓN El profesor dirige un cuestionamiento entorno a que si dos razones geométricas de igual valor pueden dar origen a una proporción geométrica, hace la pregunta ¿Pueden formar razones geométricas con los anteriores datos? ¿Se podrán establecer con estas razones la llamada razón aurea? ¿Cómo se obtiene el número de oro?

CUARTO PASO:ORIENTACIÓN LIBRE Construcción del rectángulo áureo El alumno comprenderá porque algunos restángulos son llamados áureos, y con ayuda de ciertos pasos los construirá, luego comprobará la existencia de rectángulos aureos en diversos objetos y monumentos de la Historia Peruana.

Paseo de Aguas Portada del Sol

QUINTO PASO: INTEGRACIÓN A partir de todo lo trabajado los alumnos preparan una breve exposición de lo aprendido, reflexionando entorno a la importancia y utilidad de lo aprendido en las diversas actividades desarrolladas. Al finalizar las esposiciones, el profesor hace el cierre del proyecto resaltado las habilidades que ellos han desarrollado.

BIBLIOGRAFÍA BOYER, Carl. Historia de la Matemática. Madrid. 1987. Alianza Editorial. 808 pp. Historia de la matemática. http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=4150 El quinto axioma de Euclides. http://personales.ya.com/casanchi/mat/euclid01.htm El quinto postulado http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/No%20euclidianas/Secciones/Indice.htm Los Elementos de Euclides. www.euclides.org