Matemáticas Jornadas sobre el siglo XIX. En capítulos anteriores... Concepto de demostración ( paso a paso a través de la LÓGICA) Necesidad de AXIOMAS.

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1 Matemáticas Jornadas sobre el siglo XIX

2 En capítulos anteriores... Concepto de demostración ( paso a paso a través de la LÓGICA) Necesidad de AXIOMAS (no se puede demostrar TODO)

3 … 2000 años después DESCARTES (1637) GEOMETRÍA EUCLÍDEA (300 a.C) Pienso, luego existo KANT (1724 - 1805) "Vemos las cosas, no como son, sino como somos nosotros."

4 SIGLO XIX Gauss, “el Príncipe de las Matemáticas” (1777 - 1855) I. Crisis de la Geometría de Euclides II. Crisis de los Fundamentos de las Matemáticas

5 DESMONTANDO A EUCLIDES CAPÍTULO I DESMONTANDO A EUCLIDES “En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas... “ Carl Friedrich GAUSS (1813)

6 Los Axiomas de Euclides DEFINICIONES (abstracciones de la realidad física) Un punto es lo que no tiene partes Una línea es una longitud sin anchura Los extremos de una línea son puntos Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. Las extremidades de una superficie son líneas Etc... NOCIONES COMUNES (a todas las ciencias) 1. Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí 2. Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales 3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales 4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales 5. El “todo” es mayor que la “parte”

7 Los Axiomas de Euclides I. Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto cualquiera II. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta III. Se puede trazar una circunferencia, con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio IV. Todos los ángulos rectos son iguales... POSTULADOS (axiomas para la Geometría plana)

8 El quinto postulado de Euclides “Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos” ¡Mi sistema es COMPLETO, CONSISTENTE y NO REDUNDANTE!

9 Círculos viciosos (lo definido no debe entrar en la definición) Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea. La suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos (180º)

10 El quinto postulado es una proposición INDECIDIBLE 1)Una sola paralela 2)Ninguna paralela 3)Al menos dos paralelas ( infinitas)

11 Geometrías no euclídeas ESFÉRICA u OBTUSA PSEUDOESFÉRICA o AGUDA (círculos máximos) (ramas hiperbólicas) Riemann 1854 Saccheri, Lobachevsky, Bolyai y Gauss

12 Geometrías no euclídeas ( y II)

13 Geometrías no euclídeas ( y III)

14 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS “Las propiedades de los conjuntos finitos se han extendido alegremente a los conjuntos infinitos” Brouwer “Dios creó los naturales...” “… lo demás es obra del Hombre” Kronecker

15 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS "No existirá otra alegre y confiada mañana" "Nadie podrá expulsarnos del maravilloso paraíso que Cantor ha creado para nosotros" Russell Hilbert

16 Construir las MATEMÁTICAS TODAS LAS MANZANAS SON ROJAS (enunciado) EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS ESTÁ INCLUIDO EN EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS (TEORÍA DE CONJUNTOS) “SER MANZANA” → “SER ROJO” ( LÓGICA )

17 La paradoja del mentiroso “TODOS LOS MATEMÁTICOS MENTIMOS SIEMPRE”

18 La paradoja del mentiroso (y II)

19 La paradoja de Russell LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS El conjunto de las manzanas NO es una manzana El conjunto de las cosas que no son manzanas SÍ es una cosa que no es una manzana ¿QUÉ PASA CON EL CONJUNTO DE LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS? ¿SE CONTENDRÁ A SÍ MISMO? ¿EH? BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970)

20 El Hotel del Infinito

21 Los conjuntos infinitos “Un conjunto infinito es aquél que posee un subconjunto con la misma cantidad de elementos” “Hay conjuntos infinitos que tienen MÁS elementos que otros” Demuestra que el conjunto de los números reales es MAYOR que el de los números naturales. Demuestra que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado es MAYOR que dicho conjunto. GEORGE CANTOR (1845 - 1918)

22 La escalera de álefs Números naturales Números pares Escalera de álefs y la hipótesis del continuo (hoy sabemos que es como el quinto postulado) El conjunto de Russell es infinito Euclides: rectas y el todo mayor que la parte 0 Números enteros Números racionales 1 Números irracionalesNúmeros reales Intervalo (0,1) Puntos de una recta Puntos de un segmento Puntos de un cuadrado Puntos de todo el Universo conocido

23 Los monstruos de la mente Las curvas patológicas David HILBERT (1891) Helge von KOCH (1904)

24 NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO (no queremos conjuntos paradójicos) ¿Cómo reconstruir las bases? CON EL INFINITO NO SE JUEGA (escapa a nuestra intuición) El conjunto de RUSSELL es un conjunto infinito Uno de los Axiomas de EUCLIDES es incompatible con los conjuntos infinitos ( El “todo” es mayor que la “parte” ), y otro los emplea ( Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta )

25 LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS

26 Brouwer Kronecker LOS INTUICIONISTAS LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD DE SU CONSTRUCCIÓN NO aceptan LOS CONJUNTOS INFINITOS ni las demostraciones por REDUCCIÓN AL ABSURDO

27 LOS LÓGICOS Russell AXIOMA DEL CÍRCULO VICIOSO LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO NO SE PUEDEN DEFINIR A PARTIR DE LOS RESTANTES ELEMENTOS DEL CONJUNTO ¿Qué es eso del conjunto de todos los subconjuntos de sí mismo? ¿EH?

28 LOS FORMALISTAS LA VERDAD MATEMÁTICA ES LA AUSENCIA DE CONTRADICCIÓN Si no te gustan mis AXIOMAS... ¡tengo otros! La LÓGICA es la herramienta, el lenguaje Es INDEPENDIENTE del significado que pueda tener en el MUNDO FÍSICO Hilbert

29 TEORÍAS MATEMÁTICAS ¿ÚTILES?SE MEJORAN ¿Se pueden sustituir? SE RECHAZAN SÍ NO NO SÍ

30 MATEMÁTICAS Y REALIDAD

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