Colegio Santo Tomás de Villanueva

Presentación del tema: "Colegio Santo Tomás de Villanueva"— Transcripción de la presentación:

1 Colegio Santo Tomás de Villanueva
El Cono de Apolonio Colegio Santo Tomás de Villanueva

2 Biografía Apolonio era un matemático griego nacido en Perge (262 a.C a.C.), fue discípulo de Arquímedes. Poco se sabe sobre su vida excepto por las introducciones que hacía en algunos de sus tratados de los que se compone su gran obra "LAS CÓNICAS" en el que se utilizan por primera vez los términos: "ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLA". También descubrió y describió los "EPICICLOS" con los que Ptolomeo utilizaría para explicar el movimiento de los planetas. Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible lo que le hacía de un trato difícil.

3 Biografía Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga destacan "LOS LUGARES PLANOS" donde se desarrollan las operaciones más importantes que hay que conocer en el trazado geométrico con un lenguaje moderno y cercano a la geometría analítica como: la homotecia, la traslación, la inversión, la rotación y la semejanza.

4 Aportaciones de Apolonio
Una de las aportaciones de Apolonio a la geometría es la siguiente: “DADOS TRES OBJETOS QUE PUEDEN SER, CADA UNO DE ELLOS, PUNTOS, RECTAS O CIRCUNFERENCIAS, DIBUJAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LAS TRES”. Se destacan 10 casos: tres puntos, tres rectas, dos puntos y una recta, dos rectas y un punto, dos puntos y una circunferencia, dos circunferencias y un punto, dos rectas y una circunferencia, dos circunferencias y una recta, un punto, una recta y una circunferencia y por último tres circunferencias.

5 Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son LAS CÓNICAS
Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son LAS CÓNICAS. Las secciones cónicas ya eran conocidas cuando Apolonio realizo el estudio de estas, pero su tratado deja atrás al resto de teorías. Anteriormente a Apolonio se creía que la hipérbola, la parábola, y la elipse se obtenían de secciones de conos diferentes de acuerdo con el ángulo del vértice. Así, Apolonio demostró que estas curvas pueden obtenerse de las secciones de un mismo cono, variando la inclinación del plano que corta a este. Además de certificar que el cono no tiene porque ser un cono recto, puede ser circular, escaleno u oblicuo.

6 ADEMÁS las curvas cónicas tienen propiedades interesantes
ADEMÁS las curvas cónicas tienen propiedades interesantes. Una de las más importantes que descubrió Apolonio son las propiedades de reflexión. 1.- REFLEXIÓN DE LA PARÁBOLA: si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

7 Cuenta la leyenda que Arquímedes, contemporáneo de Apolonio, empleo esta propiedad para defender Siracusa de los romanos quemando las naves de éstos. Para ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos que consiguieron concentrar los rayos solares en las naves romanas. Hoy en día dicha propiedad tiene diversas utilidades como pueden ser: LOS SISTEMAS DE RADAR, LAS ANTENAS DE TELEVISIÓN O LOS ESPEJOS SOLARES, entre otros.

8 2.- REFLEXIÓN DE LA ELIPSE: si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Es decir, si un rayo parte de uno de los focos, al reflejarse en la elipse el rayo seguirá una trayectoria que pasara por el otro foco.

9 Basándonos en esta propiedad, podemos comprobar que si tenemos una MESA DE BILLAR con forma de elipse, y lanzamos la bola desde uno de sus focos, con cualquier dirección, esta rebotará con la mesa de juego y pasará por el otro foco. Si la bola continuase rebotando volvería a pasar por el primer foco, y así sucesivamente, hasta que llegase un momento en el que la trayectoria de la bola se confundiría con el semieje mayor de la elipse. Si en vez de esto lanzamos la bola desde cualquier otro punto que no fuese uno de los focos ni uno de la línea que los une, los segmentos de la trayectoria de la bola describirían la figura de otra elipse. Y en cambio, si el punto de partida de la bola fuera un punto de la línea que une los focos, esta trazara la envolvente de una hipérbola con los mismos focos.

10 Es curiosa la construcción de habitaciones con techos elípticos
Es curiosa la construcción de habitaciones con techos elípticos. Al emitir un sonido desde uno de los focos, este se escuchará con total nitidez desde el otro foco. Además el sonido tardará el mismo tiempo en transmitirse de un foco al otro sea cual sea la dirección que tomemos para emitirlo. Este efecto también permite la insonorización de habitaciones.

11 3.- REFLEXIÓN DE LA HIPÉRBOLA: los rayos que provienen de uno de los focos de una hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco. Esta propiedad ha sido utilizada para la creación del LORAN, que es un dispositivo de navegación hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue empleando, claro que en menor medida debido a la aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de barcos y aviones. Se fundamenta en el cálculo de la diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.

12 Como el posicionamiento se realiza en dos dimensiones, si se sabe la diferencia de las distancias a las dos estaciones se puede localizar el lugar geométrico de los puntos, en que se puede encontrar el barco o el avión, que es una hipérbola cuyos focos son las estaciones. Conociendo la intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la posición del avión o barco.

13 CONO DE APOLONIO

14 LA RELACIÓN DE CÓNICAS QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL CONO DE APOLONIO
CÍRCULO: corte con un plano paralelo a la base del cono ELIPSE: corte oblícuo con respecto a la base PARÁBOLA: corte paralelo a una generatriz del cono que atraviesa su base HIPÉRBOLA: corte más o menos paralelo a la altura del cono enfrentado a su imagen unido por el vértice.

15 ÁGORA y el Sistema de Ptolomeo

16 ÁGORA y el Cono de Apolonio

17 ÁGORA y la 2ª Ley de Kepler