Cónicas. Secciones cónicas Circunferencia

Presentación del tema: "Cónicas. Secciones cónicas Circunferencia"— Transcripción de la presentación:

1 Cónicas. Secciones cónicas Circunferencia
La ecuación de la circunferencia Posición relativa de una recta y una circunferencia Recta tangente por un punto Potencia de un punto con respecto de una circunferencia Definición y consecuencias Eje radical de dos circunferencias Centro radical de tres circunferencias Elipse La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse Excentricidad de la elipse Una propiedad geométrica de la elipse Hipérbola La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola Excentricidad de la hipérbola Parábola La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola Una propiedad geométrica de la parábola

2 Secciones cónicas  Si consideramos dos rectas no paralelas en el espacio (eje y generatriz) que se cortan en un punto (vértice). La superficie que se genera al girar una de las rectas (generatriz) sobre la otra (eje) se denomina SUPERFICIE CÓNICA. Se denomina SECCIÓN CÓNICA a la intersección de un plano con una superficie cónica. Si el plano no contiene al vértice y denominamos  al ángulo que forma el eje y la generatriz y  al ángulo que forma el eje y el plano, tenemos: Si  >  es una ELIPSE (si  = 90º tenemos una circunferencia). Si  =  es una PARÁBOLA. Si  <  es una HIPÉRBOLA.

3 ELIPSE

4 PARÁBOLA

5 HIPÉRBOLA

6 CIRCUNFERENCIA  Denominamos Ca,r circunferencia con centro en a(a1,a2) y radio r > 0 al conjunto de puntos que equidistan del punto a con una distancia igual a r. Es decir su ecuación métrica es: Ca,r = { p(x,y) : d(p,a) = r } Que en coordenadas del plano equivale a: Ca,r = { (x,y) : (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 } = r2 Y desarrollando la expresión e igualando a cero se obtiene la ecuación polinomial o ecuación implícita: Ca,r = P(x)  x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 (e) Igualando, e identificando coeficientes se obtiene: D = - 2 a1 ; E = - 2 a2 ; F = (a1)2 + (a2)2 – r 2 La ecuación (e) corresponde a una circunferencia si y solo si se cumple: r 2 = (a1)2 + (a2)2 – F > 0 r Ca,r a

7 CIRCUNFERENCIA Ejemplo: Calcular la ecuación polinomial de una circunferencia cuyo centro es O(2,3) y radio r = 2. Desarrollando la ecuación (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 22 Se obtiene la ecuación implícita: x 2 + y x – 6 y + 9 = 0 Ejemplo: Comprobar si la siguiente ecuación es la de una circunferencia x 2 + y x + 2 y + 3 = 0 Como a1 = - (-2) / 2 = 1; a2 = - 2 / 2 = -1; F = 3 Será r2 = (a1)2 + (a2)2 – F = -1 < 0 Luego, la ecuación no puede corresponder a una circunferencia

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9 Posición relativa de recta y circunferencia
Para determinar la posición relativa de una circunferencia Ca,r y una recta s Ca,r = (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 = r2 s : A x + B y + C = 0 calculamos la distancia de s al centro en a(a1,a2) Si d > r la recta es exterior Si d = r la recta es tangente a la circunferencia Si d < r La recta es secante a la circunferencia.

10 Posición relativa de recta y circunferencia
Ejemplo: Estudia la posición relativa de la recta s: 3 x + 4 y = 0 y la circunferencia (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22 . Como La recta es secante a la circunferencia. Para calcular los puntos de intersección de una circunferencia Ca,r y una recta s, resolvemos el sistema de ecuaciones Ca,r = (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 = r2 s : A x + B y + C = 0 Que además, de dicha solución se deducirá si la recta es exterior (si no tiene solución el sistema) es tangente (s solo tiene una solución) y secante (si tiene dos soluciones)

11 Posición relativa de recta y circunferencia
Ejemplo: Para calcular los puntos de corte de la recta s: 3 x + 4 y = 0 y la circunferencia (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22 . Resolvemos el sistema Ca,r = (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22 s : 3 x + 4 y = 0 Que despejando y = – (3x) / 4 de la primera ecuación, y sustituyendo en la segunda, se obtiene la ecuación de segundo grado en x: x2 + 6 x (9/16) x 2 + 3x + 4 = 4 Cuya solución es Y sustituyendo los valores de la x, en la primera ecuación se obtiene Luego los puntos de corte de la recta s secante a la circunferencia C, serán

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13 Recta tangente por un punto
Dada la circunferencia Ca,r y un punto P0(x0,y0) de dicha circunferencia, para calcular la recta tangente s a la circunferencia Ca,r en el punto P0 . Teniendo en cuenta que la pendiente m de la recta t que pasa por los puntos P0(x0,y0) y a(a1,a2) es Como la pendiente de la recta s perpendicular a t es La recta tangente s será: s C t P0 m a

14 Recta tangente por un punto
Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2 x = 0 en el punto (0,0). Como se puede comprobar que el punto (0,0) pertenece a la circunferencia, y que el centro de la circunferencia es el punto (1,0) la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto (0,0) será

15 Potencia de un punto con respecto a una circunferencia
Se denomina POTENCIA de un punto P0(x0,y0) respecto de la circunferencia Ca,r al número Lógicamente se deduce: Si P0 es un punto exterior a la circunferencia POTC(P0) > 0 Si P0 es un punto de la circunferencia POTC(P0) = 0 Si P0 es un punto exterior a la circunferencia POTC(P0) < 0 C P0 d a r

16 Potencia de un punto con respecto a una circunferencia
Si s es la recta tangente a Ca,r que pasa por P0(x0,y0) y a’  s  Ca,r se cumplirá Basta tener en cuenta que el punto P0, a y a’ forman un triángulo rectángulo de hipotenusa P0 a, y aplicar el teorema de Pitágoras C P0 d a r PotC(P0) a’

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18 Eje radical de dos circunferencias
Se denomina EJE RADICAL de dos circunferencias Ca,r y C’a’,r’ al conjunto de puntos P(x,y) que cumplen Además, este conjunto de puntos es una recta, ya que si: Resolviendo la ecuación (1) e igualando a cero se obtiene la ecuación (A-A’) x + (B-B’) y + (C-C’) = 0 Que es la ecuación de una recta Además, esta recta es perpendicular a la recta que une los dos centros de la circunferencias, ya que el vector normal de esta recta es (A-A’,B-B’), que precisamente es el vector formado por los dos centros.

19 Eje radical de dos circunferencias
Ejemplo: Calcular el eje radical de las circunferencias de ecuaciones: x2 + y2 - 1 = 0 x2 + y2 + 2 y = 0 Solución: Igualando ambas ecuaciones obtenemos la ecuación del eje radical x2 + y x2 - y2 - 2 y = 0  y = -1/2

20 Eje radical de dos circunferencias
Para construir geométricamente el eje radical de dos circunferencias Si son tangentes.- Es la recta tangente a ambas circunferencias y perpendicular a la recta que une los centros de dichas circunferencias. Si son secantes.- Es la recta que pasa por los puntos de intersección de ambas circunferencias. Si son exteriores.- Tranzando una circunferencia secante a ambas, y los dos ejes radicales respectivos. Es la recta perpendicular a la recta que une el centro de las dos circunferencias y pasa por el punto de intersección de los ejes radicales trazados provisionalmente

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22 Centro radical de tres circunferencias
Se denomina CENTRO RADICAL de tres circunferencias Ca,r , C’a’,r’ y C’’a’’,r’’ al punto P que cumplen Existe el centro radical P cuando los ejes radicales de las circunferencias no son paralelos. Además, es el punto de intersección de los tres ejes radicales. Por ejemplo para resolver el centro radical de las circunferencias Resolviendo el sistema se obtiene el centro (3/4,0)

23 La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
Se denomina ELIPSE que tiene por focos al los puntos F1 y F2 (situados a una distancia FOCAL d(F1,F2’) = 2 c ), y cuya constante es 2a  R (siendo a>c), al lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales que d (P,F1) + d (P,F2) = 2 a. A1 B1 B2 A2 Se denominan EJES de la elipse (ejes de simetría ortogonales) a la rectas que pasan por F1 y F2 (de segmento mayor) y a su mediatriz (de segmento menor). El punto de intersección de los ejes es su centro (O), y los puntos de intersección con la elipse se denominan vértices (A1 y A2 para el eje mayor, B1 y B2 para el eje menor)

24 La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
De la definición se desprende que la elipse es simétrica respecto de los segmentos A1A2 y B1B2. Y se deduce: d (A1,F1) + d (A1,F2) = d (A2,F1) + d (A2,F2) = 2.a ( por definición ) = = d (O,A1) + d (O,A2) = 2.d(O,A1)  d (O,A1) = d (O,A2) = a. Y como los puntos B1 y B2 son simétricas respecto de los focos F1 y F2. d(B1,F1) = d(B1,F2) = d(B2,F1) = d(B2,F2) = a  d(O,B1) = d(O,B2) = b. c b Y teniendo en cuenta que. c = d(O,F1) = d(O,F2); será: a 2 = b 2 + c 2.

25 La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
En el caso particular, de que los ejes mayores y menores de la elipse sean respectivamente el eje OX y OY, de un sistema de referencia cartesiano. Los focos F1 y F2 tendrán coordenadas (-c,0) y (c,0) respectivamente. Y para cada punto P de la elipse, como se cumple la condición d (P,F1) + d (P,F2) = 2.a. Desarrollando la expression se obtiene la ecuación reducida de la elipse Razonado análogamente, si tomamos los ejes mayores y menores de la elipse sean respectivamente el eje OY y OX, dicha ecuación queda:

26 La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la elipse reducida tendrá por ecuación v u

27 La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focos son F1(-4,0) y F2(4,0) y su semieje mayor es a = 5 Como a = 5 y c = 4, de la relación a2 = b2 + c2, se obtiene que b = 3, y por tanto la ecuación será

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29 Excentricidad de la elipse.
Se denomina EXCENTRICIDAD de la elipse al número e = c/a (0 < c < a), que está comprendido entre 0 y 1. Y se aproximará a un círculo cuando e sea próximo a 1 y será muy achatada cuando se aproxime a 0 Ejemplo.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focos son F1(-4,0) y F2(4,0) y su semieje mayor es a = 5 y su excentricidad Como a = 5 y c = 4, de la relación a2 = b2 + c2, se obtiene que b = 3, y por tanto la ecuación será Y su excentricidad será e = c/a = 4/5

30 Propiedad geométrica de la elipse.
La elipse posee la siguiente propiedad de reflexión: Si por un punto P de una elipse se traza una tangente, los radios locales PF1 y PF2 forman con la tangente ángulos iguales

31 La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
Se denomina HIPÉRBOLA que tiene por focos al los puntos F1 y F2 (situados a una distancia focal d(F1,F2’) = 2 c), y cuya constante es 2a  R (siendo a<c), al lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales que | d (P,F1) - d (P,F2) | = 2 a. Se denominan EJES de la hipérbola (ejes de simetría ortogonales) a la rectas que pasan por F1 y F2 y a su mediatriz. El punto de intersección de los ejes es su centro (O), y los puntos de intersección con la hipérbola se denominan vértices (A1 y A2) A2 A1

32 La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
De la definición se desprende que la elipse es simétrica respecto de los ejes de simetría. Y se deduce: d (A2,F1) - d (A2,F2) = d (A2,A1) + d (A1,F1) - d (A2,F2) = 2.a ( por definición ) = = d (O,A2) + d (O,A1) = 2.d(O,A1)  d (O,A1) = d (O,A2) = a Los puntos (0, b), se denominan extremos imaginarios, y son tales que, su distancia (b) al punto O cumple a 2 + b 2 = c 2 Siendo a = d (A1,O) = d (A2,O) c = d (F1,O) = d (F2,O)

33 La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
En el caso particular, de que los ejes mayores y menores de la hipérbola sean respectivamente el eje OX y OY, de un sistema de referencia cartesiano. Los focos F1 y F2 tendrán coordenadas (-c,0) y (c,0) respectivamente. Y para cada punto P de la elipse, como se cumple la condición | d(P,F1) - d(P,F2) | = 2.a. Desarrollando la expresión y simplificando se obtiene la ecuación reducida de la hipérbola Razonado análogamente, si tomamos los ejes mayores y menores de la hipérbola sean respectivamente el eje OY y OX, dicha ecuación queda:

34 La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la hipérbola reducida tendrá por ecuación

35 La ecuación de la hìpérbola. Elementos de la hipérbola.
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1(-5,0) y F2(5,0) y sus vértices son A1(-4,0) y A2(4,0) Como a = 4 y c = 5, de la relación c2 = a2 + b2, se obtiene que b = 3, y por tanto la ecuación será

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37 Excentricidad de la hipérbola.
Se denomina EXCENTRICIDAD de la hipérbola al número e = c/a (0 < a < c), que es mayor que 1. Se aproximará a los focos y estará estirada cuando e sea próximo a 1 y será muy alargada cuando e sea mucho mayor que 1 Ejemplo.- Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1(-5,0) y F2(5,0) y sus vértices son A1(-4,0) y A2(4,0) . Calcular su excentricidad. Como a = 4 y c = 5, de la relación c2 = a2 + b2, se obtiene que b = 3, y por tanto la ecuación será Y su excentricidad será e = c/a = 5/4

38 La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
Se denomina PARÁBOLA que tiene por focos al punto F y recta directriz D (situada a una distancia p de F), al lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales que d (P,F) = d (P,D). Se denomina EJE de la elipse a la rectas perpendicular a la directriz D que pasa por F. El punto de intersección del eje con la parábola se denomina vértice ( O)

39 La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
Si consideramos el eje de la parábola el eje OX y el vértice el origen de coordenadas, será F(p/2,0) y D: x = -p/2. Y como para cualquier P(x,y) de la parábola se debe de cumplir: d (P,F) = d (P,D)  (x – (p/2))2 + y2 = (x +(p/2))2  y2 = 2px Razonando de manera análoga con el eje de la parábola el eje OY y el vértice el origen de coordenadas se obtiene la ecuación. x2 = 2py

40 La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la parábola reducida tendrá por ecuación (y-v)2 = 2p(x-u)

41 La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
Ejemplo.- Calcular la ecuación reducida de la parábola cuyo foco es el punto F(-1,0) y su directriz es la ecuación x = 1 La parábola está centrada en el origen de coordenadas y como p = 2 su ecuación será

42 Propiedad geométrica de la parábola.
La parábola posee la siguiente propiedad: Si por un punto P de una parábola se traza una tangente, el radio focal PF y la recta que pasa por P y es paralela al eje de simetría forman con la tangente ángulos iguales

43 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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49 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( En la siguiente diapósitiva

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