GEOMETRÍA EUCLIDEANA Conceptos Básicos.

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1 GEOMETRÍA EUCLIDEANA Conceptos Básicos

2 Geometría Definición. Geometría ( del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Se le considera como la ciencia de la posición, la forma y la magnitud , y que tiene por objeto el estudio de la extensión considerada bajo sus tres dimensiones línea, superficie y cuerpo.

3 Historia- antecedentes
MÉTODO DEDUCTIVO EUCLIDES GEOMETRÍA DEFINICIONES AXIOMAS Y POSTULADOS APLICACIONES PRÁCTICAS TEOREMAS GRIEGOS, EGIPCIOS, CHINOS, BABILONIOS Y ROMANOS LEMAS-COROLARIOS

4 Geometría de Euclídes Euclídes construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclídes llamó postulados.  Los famosos cinco postulados de Euclídes, que ofrecemos a continuación, son : I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección. III.-Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera . IV.-Todos los ángulos rectos son iguales V.-Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Este ultimo, al parecer no satisfacía al propio Euclídes, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclideanas.

5 EJEMPLOS: atención al M. Deductivo.
El Método deductivo va de lo general a lo Particular Ejemplo1: Si dos rectas diferentes se intesectan entonces la intersección es un punto Hipótesis Tesis La intersección de dos rectas diferentes es un punto Dos rectas se intersectan Ejemplo2: Si el triángulo es rectángulo entonces tiene dos ángulos agudos Hipótesis Tesis El triángulo es rectángulo El triángulo tiene dos ángulos agudos Ejemplo3: El cuadrilátero es rectángulo si tiene cuatro ángulos iguales Hipótesis Tesis El cuadrilátero tiene cuatro ángulos iguales El Cuadrilátero es rectángulo

6 Aplicaciones que puede tener la Geometría en la actualidad.
Podemos mencionar algunas entre las muchas aplicaciones que puede tener la geometría en el mundo moderno: 1 .Geometría Plana 2 .Geometría del espacio 3 .Geometría No Euclideana 4 .Dibujo 5 . Fractales 6 .Geometría de Variedades 7 .Modelado 8 .Geometría Computacional 9 .Juegos Geométricos: tangram-origami

7 Formas geométricas en la naturaleza

8 Formas geométricas en nuestro mundo

9 Conceptos Básicos de la Geometría
Elementos no definidos: Punto, Recta y Plano. Definición de: Espacio, Puntos colineales y coplanares. Rayo, segmento y punto medio de un segmento. Ejemplos. Punto: ubicación , sin longitud, anchura ni altura. Recta: longitud ilimitada, derecha sin grosor ni extremos. Plano: ilimitado, continuo en todas direcciones, llano sin grosor. Espacio: ilimitado, sin longitud, anchura ni altura.

10 Punto, Recta y Plano (CONCEPTOS NO DEFINIDOS)
La recta es un conjunto de puntos continuos (sin huecos). Esto es continua y que se extiende en dos direcciones. . P Q NOTACION: PQ o l l Plano se entiende como una superficie “fina” que se extiende indefinidamente en todas direcciones El punto es el ente más pequeño en geometría. No tiene medida y lo representamos a través de una marca o “equis” pequeña. Y puede denotarse con una letra mayúscula de imprenta. x P . Q

11 Espacio . Definición. Es el conjunto de todos los puntos.
¿Te imaginas un semí -plano? …… ¿Y un semí-espacio? Intenta hacer una “buena definición” de ambos términos (X, Y,Z) .

12 Puntos colineales y coplanares
Puntos colineales son aquellos que están en una misma recta. Puntos no colineales son aquellos que no están en la misma recta. Puntos coplanares son aquellos puntos que están en un mismo plano Puntos no coplanares son aquellos que no están en un mismo plano. 1 2 ¿En cuales de las dos mesas las moscas son coplanares? 1 2 3 4 5 ¿Los autos 1-2 y 3 son colineales? ¿Y los autos 1-2 y 5?

13 Los puntos colineales son puntos que están en la misma recta.
Los puntos coplanares son puntos que se encuentran en el mismo plano.

14 Las rectas intersecantes son dos rectas con un punto común.

15 Las rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan.

16 Las rectas concurrentes son tres o más rectas coplanares que tienen un punto en común.

17 Algunas figuras geométricas básicas
Un segmento, , es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos qué están entre A y B. Los puntos A y B se llaman extremos.

18 Un rayo, , es un subconjunto de una recta que contiene un punto A dado y todos los puntos que están en el mismo lado de A, como B. El punto A se llama extremo.

19 Un ángulo,  ABC, es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo.

20 Un triángulo, ∆ABC, es la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales.

21 Un cuadrilátero, es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, entre los cuales no hay tres que sean colineales. Los segmentos se intersecan sólo en los extremos.

22 Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto del plano.

23 Segmento y Punto Medio de un segmento
Dados dos puntos A y B Definimos: Un Segmento AB como el conjunto de puntos A y B , y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos de A y B se llaman extremos de AB El número AB se llama la longitud de AB. Decimos que M es el punto medio de AB, si M esta entre A y B y AM=MB A B SEGMENTO AB M Punto Medio de un SEGMENTO AB

24 . Rayo Dados dos puntos A y B Definimos:
Un rayo AB es el conjunto de puntos que es la reunión de: 1) el segmento AB y 2) el conjunto de puntos C, tal que B esta entre A y C (A-B-C) A B RAYO AB . C Si A esta entre B y C , entonces AB y AC se llaman rayos opuestos B A C

25 Ejemplo * Como ejercicio visualiza y escribe los posibles segmentos
D, E y F son tres puntos de una recta. ¿Cuántos rayos determinan? ¿Y cuántos segmentos ? Respuesta: Consideremos los tres puntos D, E y F y ubiquemos los rayos posibles Mostremos los rayos que resultan: DE EF FD ED DE es el mismo rayo DF D E F * Como ejercicio visualiza y escribe los posibles segmentos

26 Ejercicios Propuestos
¿Tendrán que ser cuatro puntos coplanares?. De ejemplo. ¿Si tres puntos son colineales entonces son coplanares? Muestre a través de un ejemplo. Si RS es opuesto a RT ¿Cuál de los puntos R, S y T esta entre los otros dos? Si P, Q y R son puntos no colineales ¿Cuántos segmentos determinan? Y ¿Cuántos rayos determinan?