Unidad 5. Capítulo IV. Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Considere el siguiente sistema de n ecuaciones lineales de 1er orden: U-5. Cap. IV. Sistemas de ED lineales: Teoría. Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden puede expresarse como una sola ecuación lineal de orden n. Por tanto, es natural esperar semejanzas estrechas entre la teoría de una sola ecuación lineal de orden n y un sistema de n ecuaciones lineales de 1er orden. Considere el siguiente sistema de n ecuaciones lineales de 1er orden:
Mismo que puede expresarse de manera compacta en forma matricial como: U-5. Cap. IV. Sistemas de ED lineales: Teoría. Mismo que puede expresarse de manera compacta en forma matricial como: Donde: y que junto con un conjunto de n condiciones iniciales: forma un problema de valor inicial.
Esta solución es válida en todo el intervalo t1 < t < t2. U-5. Cap. IV. Sistemas de ED lineales: Teoría. El teorema de existencia y unicidad para tales sistemas puede expresarse: Si los coeficientes a11, a12, …, anm y las funciones de t, f1, f2, …, fn son continuas en un intervalo t1 < t < t2 que contiene al punto t0, el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden tiene una solución única que satisface las n condiciones iniciales: Esta solución es válida en todo el intervalo t1 < t < t2.
U-5. Cap. IV. Sistemas de ED lineales: Teoría. Las soluciones de sistemas de ecuaciones se expresan en términos de vectores en la forma: donde la expresión individual xij representa la jésima solución de la iésima función incógnita. Tales vectores serán solución de un sistema de ecuaciones diferenciales si sus componentes satisfacen cada una de las ecuaciones.