Unidad 7. Capítulo IV. Propiedades de la Transformada de Laplace.

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1 Unidad 7. Capítulo IV. Propiedades de la Transformada de Laplace.

2 U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace.
Linealidad: Sean f y g funciones que tienen transformada de Laplace, entonces para a, b  R: Prueba: así: 

3  Por otra parte: Prueba: así:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Por otra parte: Prueba: así: 

4 Versión para la Transformada Inversa.
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Por lo tanto: Versión para la Transformada Inversa. Como se puede observar, el operador transformada de Laplace hereda las propiedades del operador integral, por lo tanto es un operador lineal.

5 excepto en los puntos de discontinuidad.
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Unicidad: Sean f y g funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, entonces si: entonces excepto en los puntos de discontinuidad. Por contrapuesta:

6 U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace.
1er teorema de traslación: Sean f continua por tramos y de orden exponencial y a una constante. Entonces para s > a: Prueba: si s – a = b : en donde:  Versión para la inversa:

7 U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace.
Transformada de una derivada: Sean f y su derivada, f’, funciones de orden exponencial continuas por tramos, entonces: Prueba: cuando s > 0: así: 

8  Transformada de una integral: Prueba: De: con: Por lo tanto:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Transformada de una integral: Prueba: De: con: Por lo tanto: 

9  Integral de una transformada: Prueba: con t > 0: de esta manera:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Integral de una transformada: Prueba: con t > 0: de esta manera: 

10  Derivada de una transformada: Prueba: Por lo tanto:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Derivada de una transformada: Prueba: Primera derivada: Por lo tanto: 

11  ⁞ Por lo tanto: En general: Segunda derivada:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. Segunda derivada: Por lo tanto:  ⁞ En general:

12  2° teorema de traslación: Prueba: si m = t – a:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. 2° teorema de traslación: Prueba: si m = t – a:  Versión para la inversa:

13 U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace.
Teorema de convolución: Sean f y g dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial. Si su convolución es , entonces: Prueba: Sean: entonces:

14  con t = b + t : e invirtiendo el orden de integración: así:
U-7. Cap. I Propiedades de la transformada de Laplace. con t = b + t : e invirtiendo el orden de integración: así: 