Unidad 4 Anexo 3. Capítulo III. Existencia y unicidad.

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1 Unidad 4 Anexo 3. Capítulo III. Existencia y unicidad.

2 con y0, y’0, . . . , y0 (n1) constantes reales específicas.
U-4.A-3. Cap. III Existencia y unicidad. Existencia y unicidad: Si P1(x), P2(x), , Pn(x) y R(x) son funciones continuas en un intervalo x1 < x < x2 y si x0 es cualquier punto interior de este intervalo, entonces la ecuación diferencial: tiene una (y sólo una) solución única en este intervalo que satisface las n condiciones iniciales: con y0, y’0, , y0 (n1) constantes reales específicas.

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Observe que la ecuación diferencial debe estar escrita en su forma estándar (el coeficiente principal debe ser igual a uno) para que el teorema sea aplicable. El teorema confirma que, una vez hallada una función que satisfaga tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales, habrá terminado la búsqueda de una solución. No hay otra función que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales específicas.

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Una consecuencia directa del teorema es que la solución trivial y = 0 es la única solución de una ecuación cuyas condiciones iniciales completas sean igual a cero. Para ecuaciones lineales homogéneas de cualquier orden con coeficientes constantes, R(x) = 0 y los coeficientes son naturalmente continuos en  < x < ; entonces, sus soluciones válidas para toda x. En este caso no se requiere especificar un intervalo. Si los coeficientes y el término no homogéneo son continuos en el eje x, entonces x0 puede ser cualquier punto, y la solución es válida en todo el eje x.

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Ejemplo: La deflexión de una viga horizontal homogénea con una sección transversal uniforme y una longitud L está regida por la ecuación diferencial de cuarto orden: donde r es la densidad de la viga, g la aceleración de la gravedad, E el módulo de Young del material de la viga e I el momento de inercia de la sección transversal de la viga alrededor de una línea horizontal que pasa por su centro. La función y denota la deflexión de la viga en cualquier ubicación x, como se muestra en la figura. Determine la solución general y la solución específica para el caso de una viga con ambos lados fijados firmemente.

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y(x) viga L Viga deflexionada Solución: La ecuación es lineal, no homogénea, de cuarto orden con coeficientes constantes. Los coeficientes y el término no homogéneo son continuos en todo el eje x. Por lo que la solución no se limita a ningún intervalo finito.

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Sin embargo, la ecuación diferencial describe la deflexión de la viga en 0 ≤ x ≤ L, por lo que la solución se limitará a este intervalo, sólo por razones físicas. La ecuación diferencial se puede integrar directamente; por tanto, su solución general se obtiene aplicando cuatro integraciones sucesivas:

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Esta solución incluye cuatro constantes C1, C2, C3 y C4 que se obtienen a partir del siguiente análisis físico. Una viga bien apoyada no se deflexiona ni sus extremos giran libremente en los puntos de apoyo, entonces, y(0) = y(L) = y’(0) = y’(L) = 0. Aplicando estas condiciones se obtienen 4 ecuaciones que permiten determinar las constantes arbitrarias para establecer la solución única: