RELACIONES PROPORCIONALES 1 LA CIRCUNFERENCIA- CÍRCULO Prof. José Mardones Cuevas E-Mail: cumarojo@yahoo.com

Para mayor claridad en el establecimiento de las relaciones proporcionales en la Circunferencia - Círculo, usamos la siguiente notación: : Radio de la circunferencia. : Angulo del centro. : Arco, comprendido por el ángulo del centro y los radios. : Sector, comprendido por el ángulo del centro, radio y arco.

De acuerdo con la figura, podemos comparar el ángulo , comprendido por los radios, con el ángulo completo. Y escribimos la razón: Del mismo modo, podemos comparar el arco , comprendido por el ángulo del centro y los radios, con la longitud de la circunferencia. Y escribimos la razón:

Finalmente, podemos comparar el sector , comprendido por el ángulo del centro, con la medida del círculo. Y escribimos la razón:

Es así que, como el arco y el sector están comprendidos por el mismo ángulo, podemos establecer las siguientes proporciones:

También podemos escribirlo de manera resumida …

La siguiente tabla resume estas relaciones, y sugiere una forma de trabajar con ella. AREA LONGITUD ANGULO

AREA LONGITUD ANGULO Ejemplo1: Determina el área de un sector que es subtendido por un ángulo de 60º. Se sabe que el círculo tiene un radio de 4 cm. Solución: Según los datos entregados, el problema involucra los conceptos Angulo y Área. Entonces, de la tabla tomamos los elementos que nos interesa trabajar: AREA LONGITUD ANGULO

Enseguida corresponde sustituir los valores correspondientes y resolver la proporción: Luego, el área del sector es cm cuadrados.

AREA LONGITUD ANGULO Ejemplo2: Determina el área de un sector que subtiende un arco igual a cm. Se sabe que el círculo tiene un radio de 6 cm. Solución: Según los datos entregados, el problema involucra los conceptos Longitud y Área. Entonces, de la tabla tomamos los elementos que nos interesa trabajar: AREA LONGITUD ANGULO

Ahora corresponde sustituir los valores correspondientes y resolver la proporción: Luego, el área del sector es cm. cuadrados.

OBSERVACIÓN: Como frecuentemente se trabaja con ángulos, es bueno considerar las siguientes relaciones:

Por ejemplo: Angulo Arco Sector 45º 60º 90º

Ejercicio importante En la figura: AB diámetro; Triángulo ABC, rectángulo en C; Triángulo OBC, equilátero; OB=r, radio de la circunferencia. ¿Qué relación proporcional existe entre el cateto menor del T. ABC y el diámetro de la circunferencia? ¿Esta relación es válida siempre? Del T. OBC, equilátero, se tiene que OB=BC=r. Del diámetro se sabe que equivale a dos radios, y se escribe AB=2r. Por lo tanto, si se reemplaza r en AB se tiene: AB=2 · r =2 · BC AB=2 BC, es decir, AB:BC=2:1 Solución Si el cateto menor de un triángulo rectángulo es adyacente a un ángulo de 60º, entonces la hipotenusa mide el doble de éste.

Hasta pronto ...