@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA U.D. 9 * 3º ESO E.AP.

Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA U.D. 9 * 3º ESO E.AP."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 GEOMETRÍA PLANA U.D. 9 * 3º ESO E.AP.

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 TEOREMA DE PITÁGORAS U.D. 9.9 * 3º ESO E.AP.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados: 3,4 y 5 nudos y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Observa la figura: Ilustra una de las pruebas más conocidas para demostrar el Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras. a b c

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Demostración GEOMÉTRICA b c b.c / 2 Cuadrado de lado l l = b – c  A = (b – c) 2 b.c / 2 Por una parte: b 2 + c 2 Por otra parte: 4. (b.c / 2) + (b – c) 2 = = 2.b.c + b 2 – 2.b.c + c 2 = = b 2 + c 2 Conclusión: El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Verificación. b = 4 c = 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Cuadrado de lado l l = 4 – 3 = 1  A = 1 a 2 = b 2 + c 2 En Azul+Rojo: 25 = 6+6+6+6+1 25 = 25 En Naranja: 25 = 16 + 9 Efectivamente: 4 2 + 3 2 = 25 16 9 6

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo_1 Comprueba que las ternas {3,4 y 5} y {5,12 y 13} utilizadas por los agrimensores egipcios cumplen el Teorema de Pitágoras. a 2 = b 2 + c 2  5 2 = 4 2 + 3 2  25 = 16 + 9  25 = 25 a 2 = b 2 + c 2  13 2 = 12 2 + 5 2  169 = 144 + 25  169 = 169 Ejemplo_2 Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos mide 5 cm más que el otro y la hipotenusa vale 15 cm. Sea x un cateto y (x + 5) el otro. Por el T. de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  15 2 = (x + 5) 2 + x 2   125 = x 2 + 10.x + 25 + x 2  2.x 2 + 10.x – 100 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [– 10 ± √(100 + 800)] / 4 = [– 10 ± 30] / 4 = 5 cm y – 10 cm Luego x = 5 cm un cateto, x + 5 = 5 + 5 = 10 cm el otro

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Aplicación Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a 2 = b 2 + c 2  El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a 2 < b 2 + c 2  El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a 2 > b 2 + c 2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a b c b c b c A=90º A<90º A>90º

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejercicios 1.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  10 2 = 7 2 + 5 2  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. 2.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  61 2 = 60 2 + 11 2  3721 = 3600 + 121  Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. 3.-¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a 2 = b 2 + c 2  12 2 = 11 2 + 10 2  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  10 2 = 8 2 + h 2  h 2 = 100 – 64  h 2 = 36  h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. Problemas de Pitágoras 10 cm h 8 cm

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2  13 2 = 5 2 + h 2  169 = 25 + h 2  h 2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m, no vale. Problemas de Pitágoras 13 m h 5 m