Función exponencial y Función logarítmica

1. Función Exponencial Es de la forma: f(x) = a x con a >0, a ≠ 1 y x Є IR 1.1 Definición Ejemplo1: f(x) = 2 x f(0) = 2 0 = 1 f(1) = 2 1 = 2 f(2) = 2 2 = 4 f(3) = 2 3 = 8 f(-1) = 2 -1 = 0,5 f(-2) = 2 -2 = 0,25… La gráfica de f(x) = 2 x es: 2

Ejemplo 2: f(x) = (½) x f(0) = (½) 0 = 1 La gráfica de f(x) = (½) x es: f(1) = (½) 1 = ½ f(2) = (½) 2 = ¼ f(-1) = (½) -1 = 2 f(-2) = (½) -2 = 4… Dom (f) = IR Rec (f) = IR + Al igual que en la función anterior se tiene que: 3

a) Si a > 1, f(x)= a x es creciente en todo IR Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial 4

b) Si 0 < a < 1, f(x)= a x es decreciente en IR 1 Notar que la gráfica de f(x) = a x pasa por (0,1) 5

Ejemplo: Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había bacterias, y que la población se triplica cada una hora. Solución: Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es:. Cantidad inicial = Después de: 1 hora = ·3 = ·3 1 = horas = ·3·3 = ·3 2 = horas = ·3·3·3 = ·3 3 = Después de x horas = · 3 x. f(x)= · 3 x En general f(x) = C · k n, donde C= cantidad inicial, k= variación y n=tiempo 6

7 2. Interés Simple y Compuesto

log a (b)= n a n = b “ n es logaritmo de b en base a”, con b>0, a>0 y a ≠ 1 Ejemplo: log 3 (5)= m 3 m = 5 log 2 (8)= = 8 log 4 (64)= = 64 log 10 (0,1)= = 0,1 2. Logaritmos 2.1 Definición 8

a) Logaritmo de la base: log a (a)= 1 a 1 = a Ejemplo: log 8 (8)= = 8 b) Logaritmo de la unidad: log a (1)= 0 a 0 = 1 Ejemplo: log 9 (1)= = Propiedades 9

c) Logaritmo del producto: log a (b·c) = log a (b) + log a (c) Ejemplo: d) Logaritmo del cuociente: Ejemplo: log 8 (2) + log 8 (4) = log 8 (2·4) = log 8 (8) = 1 log a (b:c) = log a (b) - log a (c) log 3 (21) – log 3 (7)= log 3 (21:7)= log 3 (3)= 1 10

log a b m = m · log a (b) √ n n log 7 2 = 1 · log 7 (2) 3 3 √ e) Logaritmo de una potencia: log a (b) n = n · log a (b) Ejemplo: f) Logaritmo de una raíz: Ejemplo: log 2 (81) = log 2 (3) 4 = 4 · log 2 (3)= 4m Si log 2 (3) = m, entonces: 11

g) Cambio de base: Ejemplo: log a (b) = _____ log c (b) log c (a) log 27 9 = ______ log 3 9 log 3 27 = _ 2 3 log a (b) · log a (c) ≠ log a (b) + log a (c) log c (b) ______ ≠ log c (a) log c (b) - log c (a) Errores frecuentes 12

2.3 Ecuación logarítmica Si log c (a) = log c (b) entonces a = b Esto es válido para todo a, b y c, mayores que cero y c ≠ 1 Ejemplo: log(5x) = 2 log(5x) = log(100) 5x = 100 x = 20 13

Son aquellos cuya base es 10 y no se escribe Ejemplo: log 10 (b) = log (b) log 10 (100) = log (10 2 ) = 2 log 10 (1.000) = log (10 3 ) = 3 log 10 (0,001) = log (10 3 ) = Logaritmo decimal 14

La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por:. y = log a (x) a y = x (Con a > 0, a  1). 3. Función Logarítmica 3.1 Definición 15

3.2 Ley de crecimiento y decrecimiento logarítmico. a) Si a > 1, f(x)= log a (x) es creciente para x >0 x y x > 0 Rec (f) = IR Dom (f) = IR + 16

b) Si 0 < a < 1, f(x)= log a (x) es decreciente para x >0 x y x > 0 Dom (f) = IR + Rec (f) = IR Notar que la gráfica de f(x) = log a x pasa por (1,0) 17

4. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 4.1 Ecuación exponencial Son aquellas ecuaciones, en las que la incógnita se encuentra en el exponente. a) Bases iguales: Si a b = a c, entonces b=c (Esto es válido para todo a, b y c, distinto de cero). Ejemplo: Si 3 x = 81  3 x = 3 4 x=4  18

b) Bases distintas: Si a b = b c entonces aplicamos logaritmos. Ejemplo: Si a x = b c entonces, aplicando logaritmos: log(a x ) = log(b c ) x · log(a) = c · log(b) x = ________ log(a) c · log(b) 19