@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 Función logarítmica Tema 11.8 * 4º ESO Opc B.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B1 Función logarítmica Tema 11.8 * 4º ESO Opc B

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la expresión: y = log a x  f (x) = log a x Donde “a” es la base del logaritmo y x la variable. Funciones logarítmicas son: f(x) = log x,donde “a”, por omisión, vale 10. f(x) = ln x,donde la base es el número e. g(x) = log a f(x),donde tenemos una función compuesta. Si a=10  LOGARITMOS DECIMALES (Base = 10) Si a= e  LOGARITMOS NEPERIANOS (Base = e) FUNCIÓN LOGARÍTMICA

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B3 La función y=log 2 x Sea y = 2 x La inversa de dicha función es: Tenemos: y = 2 x  x = log 2 x  y = log 2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x y y = 2 x 4 2 y = log 2 x

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B4 La función y = log 1/2 x Sea y = (1/2) x Donde la base, a, vale ½. La inversa de dicha función es: Tenemos: y = (1/2) x  x = log 1/2 x  y = log 1/2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x y y=(1/2) x 2 y = log 1/2 x

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B5 Gráfica de y = log x Sea y = log x Tabla de valores x y -2--- -1--- 0--- 0,2 -0,6990 0,4 -0,3980 0,8 -0,0970 10 20,3010 30,4773 -1 0 1 2 3 x y También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y=10 x y = log x 1 0,5

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B6 Gráfica de y = ln x Sea y = ln x Tabla de valores x y -2--- -1--- 0--- 0,2 -1,6094 0,4 -0,9163 0,8 -0,2231 10 20,6931 30,9861 -1 0 1 2 3 x y También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y = e x y = ln x 1 0,5

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B7 Comparativa y propiedades Sea y = log x e y = ln x En general, si y = log a x, a > 1, se cumple: El domino es Dom f(x) = R + El recorrido es Img f(x) = R Es siempre creciente en R + Sea cual sea la base, “a” corta al eje de abscisas en el punto PC(1, 0) El eje de ordenadas es una ASÍNTOTA de la función, pues ésta tiende a converger con el eje. 0 1 2 3 x y y = log x y = ln x Aunque para valores grandes de x, el valor de y casi es cte., éste sigue creciendo hasta el infinito, por ello la Img f(x) es R.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B8 Aplicaciones de funciones exponenciales. Tema 12.6b * 4º ESO Opc B

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B9 INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo, (t) el interés ( r) producido por el dinero que prestamos se acumula al capital ( C) para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. Al final del primer periodo:Cf = C + C.r Al final del segundo periodo:Cf = (C + C.r) + (C + C.r).r Sacando factor común a (C+C.r) tenemos: Cf = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r) 2 Al final del tercer periodo:Capital final = C.(1+r) 2 + C.(1+r) 2.r Sacando factor común a C.(1+r) 2 tenemos: Cf = C.(1+r) 2.(1+ r) = C.(1+ r) 3 Al cabo de t periodo tendremos: Cf = C.(1+r) t Tenemos f (t) = k. a t, que es una función exponencial INTERÉS COMPUESTO

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B10 Ejemplo 1 Ingresamos 6.000 € en un banco, con un 5% anual de interés compuesto. ¿Qué dinero tendremos al cabo de 10 años?. Al cabo de t años tendremos: Cf = C.(1+r) t Rédito = r = 5% = 0,05 Cf = 6000.( 1 + 0,05) 10 = 6000.1,05 10 = 6000.1,6289 = 9773,37 € Ejemplo 2 Ingresamos 6.000 € en un banco, con un 4% anual de interés compuesto. ¿Qué dinero tendremos al cabo de 40 meses?. Al cabo de t meses tendremos: Cf = C.(1+r) t Rédito = r / 12 = 4% / 12 = 0,04 / 12 = 0,003333 Cf = 6000.( 1 + 0,003333) 40 = 6000.1,142377 = 6854,26 €

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B11 CRECIMIENTO DE POBLACIONES Ya sean personas, animales, árboles o bacterias, su crecimiento sigue las leyes de una función exponencial, que no es otra cosa que una progresión geométrica expresada en forma de función. Una población que tiene inicialmente N individuos y que crece a razón de un p % anual, al cabo de t años se convierte en N t individuos, donde: N t = N.(1+(p/100)) t Ejemplo 1 Queremos repoblar de conejos una reserva natural, para lo cual implantamos una población de 50 elementos. Si sabemos que crecen a razón de un 150 % anual, ¿qué población tendremos al cabo de 5 años?. ¿Y al cabo de 10 años?. Al cabo de 5 años tendremos: N t = 50.(1+(150/100)) 5 = 4883 Al cabo de 10 años tendremos: N t = 50.(1+(150/100)) 10 = 476837 Nota: En 5 años pasamos de 5.000 a medio millón. CRECIMIENTO POBLACIONES

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B12 Ejemplo 2 Una peligrosa bacteria ha infectado a 7 personas. Cada día que un individuo infectado esté en contacto con otras personas sanas se infectan 2 individuos. Si no se ponen en cuarentena a los infectados, ¿cuántas personas estarán infectadas en una semana?. ¿Y en un mes? Está claro que la población infectada aumenta en progresión geométrica. N t = N.(1+(p/100)) t N = 7 personas iniciales. p = 200 % es el aumento, pues cada persona infecta a 2 sanas. Al cabo de una semana: N t = 7.(1+(200/100)) 7 = 15309 personas Al cabo de un mes: N t = 7.(1+(200/100)) 30 = 1,5.10 15 Nota: En una semana una ciudad, en dos semanas un país, y antes de tres semanas todo el planeta.

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B13 Declive de un valor Una máquina nos ha costado 25.000 € Cada año se deprecia su valor un 15%. Esto significa que después de la depreciación del primer año será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €. 1. ¿Disminuye el valor de la camioneta la misma cantidad cada año? 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? 4. ¿No tendrá ningún valor la camioneta en algún momento, de acuerdo a este modelo? 5. ¿Tendrá la camioneta en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? La fórmula y = 25000.(1 – 0,15) x y = 25000.(0,85) x predecirá el valor después de x años de depreciación. Usa tu calculadora para dibujar una gráfica de esta función.

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opción B14 Especies protegidas El número de osos blancos de una determinada zona del planeta viene dada por la siguiente función: f(t) = 250.log [(900 t + 130) / (13 + t)] Siendo t el tiempo transcurrido en años. a) ¿Cuál es el número actual de osos?. b) ¿Se llegará a estabilizar la población de osos?. Resolución a)Actualmente: t=0 f(0) = 250.log [(900.0 + 130) / (13 + 0)] = = 250.log(130 / 13) = 250.log 10 = 250.1 = 250 b)Suponiendo la función válida de modo indefinido: N = lím 250.log [(900.t + 130) / (13 + t)] = t  oo 250 250 N = log ( lím [(900.t + 130) / (13 + t)] ) = log 900 = 250.log 900 = t  oo = 250.2´954 = 738 osos