Cálculo diferencial (arq)

Presentación del tema: "Cálculo diferencial (arq)"— Transcripción de la presentación:

1 Cálculo diferencial (arq)
Funciones Función exponencial Función compuesta Función inversa Función logaritmo

2 f(x) = ax Función exponencial Una función exponencial f está dada por:
donde x es cualquier número real, a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.

3 Gráfica de f(x)=2x tabulamos: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y

4 La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2). La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

5 a = 2 seguir

6 a = 3 seguir

7 a = 4 seguir

8 a = 5 seguir

9 a = 1.5 seguir

10 a = 1.2 seguir

11 a = 1 seguir

12 Gráfica de f(x)=(½)x tabulamos…

13 La gráfica es: Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ). La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.

14 a = 0.5 seguir

15 a = 0.33 seguir

16 a = 0.25 seguir

17 a = 0.2 seguir

18 Conclusiones f(x)= a > 1 Función creciente Rango: (0; ∞) Dominio: 
Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba Muy importante!!

19 Conclusiones f(x)= 0 < a < 1 OJO!! Función decreciente
Rango: (0; ∞) Dominio:  Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba OJO!!

20 El número e El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande… n 1 S/.2,00000 2 S/.2,25000 3 S/.2,37037 4 S/.2,44141 12 S/.2,61304 52 S/.2,69260 365 S/.2,71457 8760 S/.2,71813 525600 S/.2,71828 …. …..

21 Gráfica de f(x) = ex x ex 1 2,71.. 2 7,38.. Función creciente
1 2,71.. 2 7,38.. Función creciente Rango: (0; ∞) Dominio:  Asíntota: Eje x Gráfica cóncava hacia arriba

22 Gráfica de f(x) = ex -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y

23 Ejercicios Ejercicio 1.5 (p. 63) Gráficas: 7, 8, 11 y 13. 17 y 18
Modelación: 23.

24 Composición de funciones
g salida f(g(x)) entrada x g(x)

25 Función compuesta fog Sean f y g funciones reales tales que Dom f  Ran g  , entonces: Dom(fog) = {x / xDomg  g(x)Domf } fog(x) = f(g(x))

26 Ejercicios Ejercicio 1.3 (p. 48): 36; 38; 54 y 55.

27 Diagrama de una función inversa
x. .y = f(x) g(y) g Note que: y = f(x) y x = g(y)

28 Definición Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango C dominio de g es C y rango D g es la inversa de f si se cumple: g(f(x)) = x para todo x en D f(g(x)) = x para todo x en C

29 Guía para hallar f -1 Verificar que f es inyectiva (*).
Determinar Dom f -1 (**) Despejar x de y = f (x). Se recomienda realizar el gráfico y determinar el rango de f. * Dom f -1 = Ran f

30 Ejercicios Ejercicio 1.6 (p. 73): 7 Ejercicio 1.6 (p. 73): 10
Dada la función f(x) = x2 - 1, x<0; y grafique f y f -1 en un mismo plano.

31 log a x = y  ay = x Función logarítmo a>1 y a≠1
El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.

32 Exponenciales y logarítmos
Ecuación logarítmica Ecuación exponencial

33 Gráfica de f(x) = log 2 x graficamos… -2 ¼ -1 ½ 1 2 4 3 8 y x -1 1 2 3
5 6 7 8 9 10 -3 -2 x y -2 -1 1 2 4 8 3 graficamos…

34 ¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?
La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0) Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y ¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?

35 ¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?
Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica. (2; 4) (4; 2) ¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?

36 a = 2 seguir

37 a = 2,5 seguir

38 a = 3 seguir

39 a = 3,5 seguir

40 a = 4 seguir

41 a = 4,5 seguir

42 a = 5 seguir

43 a = 1,6 seguir

44 a = 1,2 seguir

45 a = 0,8 seguir

46 a = 0,7 seguir

47 a = 0,6 seguir

48 a = 0,5 seguir

49 a = 0,4 seguir

50 Conclusiones a > 1 a base Función creciente Dominio: (0; ∞)
2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y a > 1 Función creciente Dominio: (0; ∞) Rango:  Asíntota: Eje y Gráfica cóncava hacia abajo a base

51 Conclusiones 0 < a < 1 a base Función decreciente
2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y 0 < a < 1 Función decreciente Dominio: (0; ∞) Rango:  Asíntota: Eje y Gráfica cóncava hacia arriba a base

52 Leyes de logarítmos Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:

53 Logarítmo decimal o común
El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su forma abreviada es log x. Para cualquier número positivo x.

54 Logaritmo natural Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.

55 Gráfica de f(x) = ln x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 x y e Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.

56 Ejercicios Ejercicio 1.6 (p. 73) De exponencial a logaritmo: 19 y 28.
Función logaritmo: 42. Ecuaciones exponenciales: 49, 50, 51 y 52. Modelación: 55 y 56.

57 Tarea de conciencia Ejercicio Capítulo 1 (p. 79)
1, 2, 8, 10, 15, 16, 17c, 19, 23, 25, 27 y 28.