Exponentes y Logaritmos.

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1 Exponentes y Logaritmos.
Menú Propiedades exponenciales. Propiedades logarítmicas. Solución de ecuaciones logarítmicas. Gráficas de funciones exponenciales. Gráficas de funciones logarítmicas. Resumen del capítulo. Exponentes y Logaritmos. © Manuel Pontigo Alvarado. ISBN Instituto Tecnológico de Costa Rica.

2 Propiedades Exponenciales: Multiplicación
2 La multiplicación de los exponentes está definida por: Considere: x = _ ; a = _ b; = _ Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Resuelto mediante la HE La instrucción para la HE es Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

3 Propiedades Exponenciales: División caso 1
3 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = __; a = __ b; = __. Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Instrucción para la He: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

4 Propiedades Exponenciales: División caso 2
4 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = __; a = __ b; = __. Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Instrucción para la He: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

5 Propiedades Exponenciales: División caso 3
5 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = __; a = __ b; = __. Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Instrucción para la He: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

6 Propiedades Exponenciales: Distributiva de la multiplicación.
6 La distribución de la multiplicación en los exponentes está definida por: Considere; x = __; y =___; a = _ Remplace por su fórmula Formula a operar: Instrucción para la He: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

7 Propiedades Exponenciales: Distribución de la división.
7 La distribución de la división en los exponentes está definida por: Considere; x = __; y = __; a = __ Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

8 Propiedades Exponenciales: La potencia de una potencia.
8 La potencia de una potencia en los exponentes está definida por: Considere; x = __; y = __; a = __ Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

9 Propiedades Exponenciales: La potencia inversa.
9 La potencia inversa en los exponentes está definida por: Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Considere; x = __; a = __ Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

10 Propiedades Exponenciales: La potencia raíz. Remplace por su fórmula
10 La potencia raíz en los exponentes está definida por: Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Considere; x = 5; a = 2 Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

11 Propiedades Exponenciales: La potencia racional.
11 La potencia racional en los exponentes está definida por: Considere; x = __; a = __; b = __ Fórmula a operar: Remplace por su fórmula Remplace por su Cuadro Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Remplace con su Gráfico R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

12 Propiedades Logarítmicas: La forma logarítmica.
12 La forma logarítmica esta definida por: Esto se lee como: y es exponente al que debe elevarse a para obtener x Considere Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE En otras palabras: los logaritmos son exponentes para una base cuya potencia arrojan el valor del número.

13 3.13 Logaritmos y bases de uso común.
Logaritmo de base 10. Se dice que todo número positivo N puede expresarse como una potencia de 10, es decir, se pueden encontrar siempre una base a tal que N = 10a. Se dice que y es el logaritmo de N en base 10 = a o logaritmo decimal de N. Se puede escribir: Por ejemplo; = 103, por tanto, log = 3. Análogamente, como: 0,01 = 10–2, log10 0,01= –2 Cuando N es un número entre 1 y 10, es decir 100 y 101, a log10N está comprendido entre 0 y 1. Logaritmo neperiano. Existe un logaritmos muy especial en la matemática conocido como Logaritmo Neperiano cuya base es 2, … que por su importancia se conoce como Logaritmo Natural y la instrucción para calcular el logaritmo natural de cualquier número (excepto 0) en la Hoja Electrónica es =LN(Número).

14 Propiedades Logarítmicas: La multiplicación.
14 La multiplicación en los logaritmos está definida por: Considere; x = _____; y = _____ Logaritmo de base 10 Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Remplace por su fórmula La función inversa Logaritmo natural Remplace por su fórmula Remplace por su fórmula La función inversa R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.

15 3.15 La multiplicación mediante logaritmos en forma gráfica.
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de 10, el resultado de la exponenciación de la suma de los logaritmos y el producto directo de x con y. En estudiante habrá comprendido las facilidades que dan los logaritmos en la operación de unidades astronómicas. Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro Responda: Desarrolle la función para el logaritmo natural.

16 Propiedades Logarítmicas: La division.
16 La división en los logaritmos está definida por: Remplace por su fórmula Considere: x = _____; y = _____ Logaritmo de base 10 Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE La función inversa Remplace por su fórmula Logaritmo natural Remplace por su fórmula La función inversa Remplace por su fórmula R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.

17 3.17 La división mediante logaritmos como función.
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de BASE 10, el resultado de la exponenciación de la resta de los logaritmos y el cociente directo de x entre y. Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.

18 Propiedades Logarítmicas: La potencia.
18 La potencia en los logaritmos está definida por: Considere: x = ___; b = __ Logaritmo de base 10 Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE La función inversa Remplace por su fórmula Logaritmo natural Remplace por su fórmula La función inversa Remplace por su fórmula R: Elija cualquier juego de numerales para x, b, diferentes a los usados y resuelva.

19 3.19 Potencia mediante logaritmos como función.
Gráfico de las funciones: y ; y comprobación del uso de las potencias con logaritmos. Remplace por su fórmula Remplace por su fórmula Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.

20 Propiedades Logarítmicas: Propiedad de identidad y propiedad de cambio de base.
La propiedad de identidad esta definida por: En esta propiedad de identidad debe entenderse que los logaritmos de los números x e y son iguales, si la base a que hay que elevar con el logaritmo da un número idéntico: La propiedad del cambio de base: Si x, y, z son números positivos, además x e y son diferentes de 1, entonces:

21 Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas:
21 Pregunta: Escriba log = 3 en forma exponencial. Respuesta: = 103 Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Pregunta: Resuelva Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Remplace por su fórmula

22 Resuelva para x usando una base a:
3.22 Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas: Cambio de base 22 Resuelva para x usando una base a: Remplace por su fórmula Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Resuelva para x usando una base a: Remplace por su fórmula Considere una base a cualquiera, dígase 5. Por definición por tanto, implica: Sustituyendo: RF Remplace por su fórmula Remplace por su fórmula R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5

23 3.23 Soluciones a ecuaciones logarítmicas: Potencia inversa.
Usando logax = y, resuelva: Remplace por su fórmula Por definición: Resolviendo para x potenciando ambos lados por –3: Remplace por su fórmula Remplace por el cuadro De operaciones de la HE Remplace por su fórmula Recuerde que afectando a ambos lado de una igualdad por el mismo valor no se altera el resultado R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5

24 Graficas de funciones exponenciales.
24 Construya en la HE valores de dominio y rango y grafique las funciones: Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro Se dice que la potencia de una constante crece y la ponencia inversa decrece exponencialmente a mediada que x se incrementa o decrementa. Responda: decrece; incrementa o decrementa ; crece

25 Graficas de funciones exponenciales. Ej: 3,22
25 Grafique la función lineal: donde k, y b son constantes Remplace por su Cuadro Remplace con su Gráfico Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo valor inicial e incrementos.

26 3.26 Grafica de función exponencial para ubicar asíntotas.
Grafique las funciones: y Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro Las asíntotas de la función ocurren en -2 para y1 y en +2 para y2. Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo vlor inicial e incrementos; -2; +2.

27 3.27 Función logarítmica: Asíntotas.
Desarrolle y grafique las funciones: y Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro La asíntota ocurre cuado el dominio se aproxima a la indefinición, esto es a 0. Mientras el rango, tiende ha hacerse paralelo al eje x a medida que los valores del dominio aumentan. Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.

28 3.28 Función logarítmica: Función lineal con dos parámetros.
Desarrolle y grafique las funciones: y Remplace con su Gráfico Remplace por su Cuadro La asíntota depende de la función, en y1 la función se indefine cuando x = 2 ya que se hace cero y los logaritmos no están definidos para el cero. Así, en y2 se indefine cuando x llega a −2. Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.

29 Resumen de las operaciones exponenciales
29 Multiplicación: División: Propiedad distributiva con multiplicación: Propiedad distributiva con división: Potencia de una potencia: Potencia Inversa: Potencia Racional: Las funciones exponenciales se hacen asintóticas al ____. Responda: eje x; eje y.

30 Resumen de las operaciones logarítmicas
30 Forma logarítmica: a = base; b = Número; y = exponente. En donde y es la cantidad a la que hay que elevar a para obtener x. Multiplicación: División: Potencia: Propiedad de identidad: Propiedad de cambio de base: si x, y y z son números positivos, y si x e y diferentes de 1, entonces Las funciones logarítmicas se hacen asintóticas al _____. Responda: eje x; eje y.

31 Resumen El capítulo 3 del curso denominado Precálculo dedicado a exponentes y logaritmos contiene el material didáctico necesario para que el estudiante cuente con una base mínima sólida para comprender cursos de cálculo u álgebra avanzados y de la estadística que usualmente se imparte a carreras que no son del área de la matemática. Consta de tres herramientas computacionales cuyos fines son complementarios: El editor de textos que contiene el material del curso con respuestas en bastardilla de color azul; el Libro Electrónico que contiene las operaciones ejemplificadas y el ejercicio mínimo para el estudiante; y este proyector de diapositivas cuyo objeto es que sea elaborado como complemento del estudiante con ejercicios particularizados. Manuel Pontigo Alvarado, Enero 2007.