F UNCIONES LICEO VILLA MACUL ACADEMIA DEPTO. DE MATEMÁTICA 4° MEDIO COMÚN PROF. LUCY VERA.

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1 F UNCIONES LICEO VILLA MACUL ACADEMIA DEPTO. DE MATEMÁTICA 4° MEDIO COMÚN PROF. LUCY VERA

2 F UNCIÓN Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A B x f ( x ) = y Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f ( x ) = y

3 F UNCIÓN Conceptos: Dominio : es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f. Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor.

4 F UNCIÓN Función Continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

5 F UNCIÓN Función Discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

6 F UNCIÓN Función Periódica: Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

7 F UNCIÓN Conceptos Fundamentales: Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. f(x) AB f a x b = f(a) f(x)

8 Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “ f de x ”]. Decir que “ y ” es función de “ x ” equivale a decir que “ y ” depende de “ x ”. AB f a x b = f(a) f(x) F UNCIÓN

9 o Conceptos Fundamentales Se dirá: f : A B b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a) Dom f =A Si ( x, y ) € f ^ ( x, z ) € f y = z (Unívoca) Toda función es relación, pero no toda relación es función. F UNCIÓN

10 Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f. 12345671234567 Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B. abcdeabcde 12345671234567 AB f F UNCIÓN

11 Luego para la función f denotada: Dominio de f = Dom f = A = { a, b, c, d, e } Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7} abcdeabcde 12345671234567 AB f Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f.

12 F UNCIÓN La Respuesta correcta es B

13 F UNCIÓN La Respuesta correcta es D

14 I. F UNCIÓN A FIN Es de la forma f ( x ) = mx + n con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f ( x ) = 5 x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

15 I. F UNCIÓN A FIN Análisis de la Pendiente Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. Si m < 0, entonces la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Si m > 0, entonces la función es creciente.

16 I. F UNCIÓN A FIN I) II) X Y n m > 0 n > 0 X Y n m < 0 n > 0 X Y n m > 0 n < 0 X Y n m < 0 n < 0 III)IV)

17 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES AFINES ➢ 1º Tipo: FUNCIONES LINEALES O DE PROPORCIONALIDAD. ➔ Son las funciones afines en las que n=0 ➔ Por tanto tienen como expresión algebraica y=mx ➔ Como cualquier otra función afín, su gráfica es una recta, pero en esta ocasión es muy importante destacar que pasa por el origen de coordenadas, (0,0), porque si en la expresión de la función damos a x el valor 0 obtenemos y=0 ➔ Igual que cualquier otra función afín, su pendiente m puede ser positiva o negativa e indica la inclinación de la recta. y= 2x

18 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES AFINES 2° Tipo: FUNCIÓN IDENTIDAD La función de forma f ( x ) = x, su gráfica es: 1 2 f(x)f(x) x 1 2

19 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES AFINES 3° Tipo: FUNCIÓN CONSTANTE La función de la forma f ( x ) = c, con c : Constante Real, su gráfica es: f(x)f(x) x ● c con c > 0 f(x)f(x) x ● c con c < 0

20 I. F UNCIÓN A FIN Propiedades: El dominio de la función afín son todos los números IR. Las rectas que tienen la misma m serán paralelas. Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

21 I. F UNCIÓN A FIN Evaluación de una función afin: Dada la función f ( x ) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función. Ejemplo La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es: f ( x ) = 0.8 x + 250 con x : cantidad de metros recorridos f ( x ): costo en pesos 3 km = 3000 m Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es: f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650 Por 3 kilómetros se pagan $2650.

22 I. F UNCIÓN A FIN Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación: 2250 = 0.8 x + 250 / -250 2000 = 0.8 x / :0.8 2500 = x Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

23 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Son de la forma: Gráfica: Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c. f ( x ) = ax² + bx + c

24 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Concavidad: El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. x y 0 x 0 y a > 0, Abierta hacia arriba a < 0, Abierta hacia abajo

25 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Eje de simetría y vértice: El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola. El vértice está dado por: Vértice = -b, f -b = -b, 4ac – b² 2a 4a

26 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Además, la recta x =, corresponde al Eje de simetría. -b-b 2a2a _ b² - 4ac 4a x y · -b-b 2a2a x 0 y · _ b² - 4ac 4a -b-b 2a2a a > 0 a < 0

27 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Intersección con los ejes Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y. Sus coordenadas son (0, c ) 0 c · y x

28 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Intersección con el eje X para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática. Se define el discriminante como: D = b² - 4 ac

29 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA a ) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X. 0 · Y X a > 0 ( x = x, 0) 12

30 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA b ) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X 0 · Y X a > 0 · ( x,0) y ( x, 0) 12

31 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA c ) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X. 0 Y X a > 0

32 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general. Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión: x = - b ±√ b ²- 4 ac 2 a x = - b ±√ b ²- 4 ac 2 a 1 x = - b ±√ b ²- 4 ac 2 a 2 Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f ( x ) = ax ² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas ( x,0) y ( x, 0) 12

33 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Tipos de soluciones Dependen del valor del Discriminante a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas c) Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas D = b² - 4 ac

34 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Ejemplo: Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por En este caso a = 1 b = 2 c = -15 Luego, x = 3 x = -5 x = - b ±√ b ²- 4 ac 2 a x = - 2 ±√ 2 ²- 4 · 1·(-15) 2 · 1 x = - 2 ±√4- 60 2 x = - 2 ±√ 64 2 x = - 2 ±8 2 x = - 2 + 8 2 1 x = - 2 - 8 2 2 12

35 III. F UNCIÓN P ARTE E NTERA Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe: Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir: Ejemplos: [2,9] = 2;[-7/2] = -4;[5] = 5;[√2] = 1 f ( x ) = [ x ] [ x ] ≤ x < [ x +1] Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

36 III. F UNCIÓN P ARTE E NTERA Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [ n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

37 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO El valor absoluto de un número x € IR, denotado por | x |, es siempre un número real no negativo que se define: Ejemplo: |-3| = 3|12| = 12|-18| = 18|-5,3| = 5,3 f ( x ) = | x | = x si x ≥ 0 - x si x < 0 Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número | x | se llama distancia de x al origen.

38 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.

39 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

40 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO Propiedades: a. Si | x | ≤ a entonces - a ≤ x a ; con a ≥ 0 b. Si | x | ≥ a entonces x ≥ a ó - x ≥ a c. |xy| = |x| · |y | d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

41 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

42 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO Ejercicios: Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación: a. |x – 3| ≤ 2 Aplicando la primera propiedad: -2 ≤ x – 3 ≤ 2 -2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3 1 ≤ x ≤ 5 x € [1, 5]

43 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La Respuesta correcta es B

44 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La Respuesta correcta es D

45 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Es la función inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x e^x o x exp(x) La función exponencial f con base a se define como f ( x ) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR x

46 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Propiedades: El dominio de la función exponencial está dado por los números IR. El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*. El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1). La función no intercepta el eje X.

47 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial: Si a > 1, f ( x ) es creciente en todo IR. Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.

48 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial: Si 0 < a < 1, f ( x ) es decreciente en IR

49 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Ejercicio: Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias y que la población se triplica cada una hora. Solución : Cantidad inicial = 10.000 Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000 Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000 … Después de x horas = 10.000· 3 Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función: f(x) = 10.000 · 3 x x

50 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por log. Está dada por la siguiente ecuación: a y = log x si x = a y a

51 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Propiedades El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0. El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0). La función no intercepta el eje Y.

52 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico: Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0. a

53 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico: Si 0 0. a

54 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Ejercicios: Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función f ( x ) = log x, determine f (6). Solución : f (6) = log (6) Donde log 6 = log (2 · 3) Por Propiedad log (2 · 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781 Por lo tanto: Si f ( x ) = log x, entonces f (6) = 0.7781

55 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA La Respuesta correcta es D

56 F UNCIÓN R AÍZ C UADRADA La ecuación que representa a la función raíz cuadrada corresponde a: El dominio de la función corresponde a los valores obtenidos al desarrollar la desigualdad x  0. Una vez obtenido el dominio, se elabora una tabla de valores, se grafica y se obtiene el recorrido.

57 E JEMPLO : Graficar la función, determinar su dominio y recorrido. Obtengamos el dominio desarrollando la desigualdad 2x – 5  0, de donde se determina que x  2,5. xf(x) 2,5 3 4 5 6 0 1 1.7 2.2 2.6 Luego el dominio de la funcióncorresponde al intervalo y el recorrido al intervalo