Conferencia magistral Nº 9

Presentación del tema: "Conferencia magistral Nº 9"— Transcripción de la presentación:

1 Conferencia magistral Nº 9
TEMA: FUNCIONES

2 contenido Función Cuadrática 1 2 Función Exponencial 3
Función Logarìtmica 4

3 objetivos Comprender los diferentes tipos de comportamientos de las funciones cuadráticas, exponencial y logarítmica Identificar el dominio y el recorrido de los tipos de funciones de acuerdo a su expresión analítica y/o Grafica Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su entorno

4 Función Cuadrática Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠0, se denomina función cuadrática. La gráfica es una curva llamada Parábola El Vértice es: 𝑽= −𝒃 𝟐𝒂 , 𝒇 − 𝒃 𝟐𝒂

5 Características Toda parábola tiene eje de simetría que es una recta paralela al eje Y El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice

6 Características si a > 0 la gráfica se extiende indefinidamente hacia arriba, y se dice que es cóncava hacia arriba. si a < 0 la gráfica se extiende indefinidamente hacia abajo y se dice que es cóncava hacia abajo

7 Características Si b = c = 0, entonces el vértice de la parábola es: V(0, 0) Dominio de una función cuadrática será el conjunto de los números reales(R) Recorrido o Rango se determina a partir del valor de f(x)=Y en el vértice (siempre que el dominio no este restringido)

8 Características Interceptos con el eje x: Interceptos con el eje y:
Hacemos y = 0, factorizamos o aplicamos la ecuación cuadrática 𝒙=−𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Interceptos con el eje y: Hacemos x = 0

9 Caracterice y grafique la siguiente función: f(x) = x² − 4x + 3.
EJEMPLO Caracterice y grafique la siguiente función: f(x) = x² − 4x + 3. Vértice 𝐯( −(−𝟒) 𝟐(𝟏) , 𝒇( −(−𝟒) 𝟐(𝟏) )) = v(2, f(2)) 𝒇 𝟐 = (𝟐) 𝟐 −𝟒 𝟐 +𝟑=𝟒 −𝟖+𝟑=−𝟏      V(2, −1) 2. Puntos de intersección con el eje X x² − 4x + 3 = 0     (3, 0)      (1, 0) 3. Puntos de intersección con el eje Y es (0, 3)

10 Gráfica de la Función f(x) = x² − 4x + 3.

11 Introducción de funciones exponenciales
En la ciudad de Estelí existen habitantes. Se propaga un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. ¿Cuántas personas conocerán el rumor al cabo de 12 horas? 𝑵 𝒕 = 𝟐 𝒕 entonces 𝑵 𝟏𝟐 = 𝟐 𝟏𝟐 𝑵 𝒕 =𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔

12 Función Exponencial f(x) = x2 y g(x) = 2x
La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

13 Definición Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

14 Representación gráfica de funciones Exponenciales

15 Ejemplo de aplicación Un laboratorio quiere saber en cualquier instante el número de bacterias presentes en su estudio en función de las horas transcurridas. Para ello, en el laboratorio saben que en el instante inicial solo tienen una bacteria y que ésta se duplica por mitosis en una hora. Determina: a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de una hora? b) ¿Y al cabo de 3 horas? ¿Y al cabo de 5 horas? c) ¿Podrías dar la función que expresa el número de bacterias que habrán en el laboratorio al cabo de x horas?

16 Ejemplo de aplicación La función que expresa el número de bacterias presentes en el laboratorio en función de las horas transcurridas es f(x)= 2x y su representación es la siguiente:

17 Funciones Logarítmicas
Definición La inversa de las función exponencial se llaman funciones logarítmicas y viceversa El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y.

18 Funciones Logarítmicas
Definición Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb x= y si y sólo si x = by. El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.

19 Representación gráfica de funciones Logarítmicas

20 Ejemplo de funciones logarítmicas
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 x f(x) 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 2 4 8 3

21 Ejemplo de funciones logarítmicas
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏/𝟐 𝒙 x f(x) 1/8 3 1/4 2 1/2 1 −1 4 −2 8 −3

22 Ejemplo de funciones logarítmicas
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 log 3 𝑥=𝑦 𝑠í 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠í x = 3 𝑦 entonces Si y = 1, entonces x = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑥=3 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦= 1 El punto a graficar es P(3, 1). De igual manera, Si y = 2, entonces 𝑋=3 2 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑥=9 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦=2. El punto a graficar es P(9, 2). Y así sucesivamente.

23 Ejemplo de funciones logarítmicas
2. 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟎,𝟔 𝒙 log 0,6 𝑥=𝑦 𝑠í 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠í x = (0,6) 𝑦 entonces Si y = 1, entonces x = ( 0,6) 1 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑥=0,6 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦= 1. El punto a graficar es P(0,6, 1). De igual manera, Si y = 2, entonces 𝑋=(0,6) 2 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑥=0,36 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦=2. El punto a graficar es P(0,36; 2). Y así sucesivamente.

24 EJEMPLOS DE LA GRÁFICA DE FUNCIONES
LOGAR´ITMICAS TEXT TEXT TEXT TEXT El dominio de las funciones el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido son los números reales.

25 Muchas Gracias