@ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9.

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2 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9

3 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 FUNCIONES EXPONENCIALES Tema 9.6 * 1º BCS

4 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: y = e x  f (x) = e x Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = a x, donde a debe ser un número positivo. g(x) = e f(x), donde el exponente es otra función. h(x) = a f(x), donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. f (x) = [g (x)] h(x) son también funciones exponenciales.

5 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Sea y = e x Tabla de valores x y -4 0,018 -30,050 -20,135 -10,368 01 12,718 27,389 320,085 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y La función exponencial Gráfica

6 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Características DOMINIO: Dom f(x) = R RECORRIDO: Img f(x) = R +, (0, +oo) Es una función continua en R. Es creciente en R Pasa por el punto (0, 1) (Corte con eje de ordenadas) Cuando los valores de x se van haciendo más y más negativos, el valor de y tiende a ser cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Decimos entonces que el eje de abscisas, y = 0, es una ASÍNTOTA de la función. - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Gráfica y = e x Pc(0, 1)

7 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 La función exponencial y=2 x Sea y = 2 x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 1 / 16 - 31 / 8 - 21 / 4 - 11 / 2 01 12 24 38 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Gráfica 8 4 2

8 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Sea la función exponencial f (x) = 2 x Está representada en color NEGRO La base es un número y el exponente es la variable independiente. Sea la función polinómica f (x) = x 2 Está representada en color ROJO La base es la variable independiente y el exponente es un número. -3 -2 -1 0 1 2 3 y La función exponencial y=2 x y la función cuadrática y=x 2 f (x) = 2 x f (x) = x 2 8 4 2 1 9

9 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 La función y = (1/2) x Sea y = (1/2) x Donde la base, a, vale ½. Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Gráfica 8 4 2

10 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Sea la función: f(x) = a x La diferencia más importante de las funciones con ( 0 1, es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  La función es CONSTANTE f(x) = 1  No es f. exponencial. Si a > 1  La función es CRECIENTE. - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y f(x) = (1/2) x f(x) = 2 x Características de y = a x

11 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Sea la función: f(x) = 3 x-2 Tabla de Valores: xf(x) -11/27 01/9 11/3 21 33 49 Al ser la base a=3 > 1  La función es CRECIENTE. - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y f(x) = 3 x- 2 Ejemplos de otras funciones 1

12 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Durante los 7 últimos años la inflación en un país ha sido del 5%. a)¿Qué cuesta ahora un artículo que hace 7 años costaba 30 €?. b)¿Qué costaba hace 7 años un artículo que ahora cuesta 50 €?. P actual = P ant + P ant x 0,05 = P ant x 1,05 En 7 años: P actual = P ant x 1,05 7 a) P actual = P ant x 1,05 7 P actual = 30 x 1,05 7 = 30 X 1,4071 = 42,21 € b) P actual = P ant x 1,05 7 50 = P ant x 1,05 7 = P ant x 1,4071 De donde: P ant = 50 / 1,4071 = 35,53 € Inflación

13 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Una persona contrata un fondo de pensiones, abonando por ello 60 € mensuales. Cada año el importe mensual sube un 5%. a)¿Qué abonará mensualmente al cabo de 10 años.?. b)¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que se duplique la mensualidad?. En un año: M futura = M actual + M actual x 0,05 = M actual x 1,05 En 10 años: M futura = M actual x 1,05 10 a)M futura = M actual x 1,05 10 M futura = 60 x 1,05 10 = 60 x 1,6289 = 97,63 € b)M futura = M actual x 1,05 t 2 x M actual = M actual x 1,05 t De donde: 2 = 1,05 t  log 2 = t. log 1,05 Despejando t queda: t = 0,301030 / 0,021189 = 14,20 años Mensualidad a abonar

14 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Declive de un valor Una máquina nos ha costado 25.000 € Cada año se deprecia su valor un 15% según Hacienda. Esto significa que después de la depreciación del primer año será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €. 1. ¿Disminuye el valor de la máquina la misma cantidad cada año? 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? 4. De acuerdo a este modelo, ¿llegará un momento en que el valor de la máquina será nulo?. 5. ¿Tendrá la máquina en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? La fórmula y = 25000.(1 – 0,15) x y = 25000.(0,85) x predecirá el valor después de x años de depreciación. Usa tu calculadora para dibujar una gráfica de esta función.

15 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Plaga de ratas En un parque público hay una población de 200 roedores. Sabemos que se reproducen de forma exponencial. Al mes, la población es de 300 roedores. ¿Qué población habrá al cabo de 3 meses? ¿Y de un año? La población vendrá dada en todo momento por la expresión (función): P = Po.a x Al mes (x=1) tenemos: 300 = 200.a 1, de donde a = 300/200 = 1,50 Al cabo de 3 meses (x=3):P = 200.(1,50) 3 = 675 roedores. Al año (x=12):P = 200.(1,50) 12 = 25 950

16 @ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Bacterias La población de cierto tipo de bacterias que crece en un cultivo es función del tiempo transcurrido en minutos, y viene dado por: N(t) = e 12 / (2 + 10 3. e – 2.t ) a) ¿Cuál es la población en el momento de iniciarse el estudio biológico?. b) ¿Hacia qué valor tiende a estabilizarse con el transcurso del tiempo?. Resolución a)Actualmente: t=0 N(0) = e 12 / (2 + 10 3. e – 2.0 ) = e 12 / (2 + 10 3 ) = 162754 / 1002 = 162 b)Suponiendo la función válida de modo indefinido: N = lím e 12 / (2 + 10 3. e – 2.t ) = e 12 / (2 + 10 3. e – 2.oo ) = t  oo N = e 12 / (2 + 10 3. (1 / oo)) = e 12 / (2 + 10 3. 0) = e 12 / 2 = 81377 bacterias t  oo t  oo