INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA CONJUNTOS NUMÉRICOS

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS El Conjunto de los Números Naturales esta formado por el conjunto de números que utilizamos para contar. ℕ ={1, 2, 3, … } LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Características: Tiene infinitos elementos. Es ordenado (Es posible determinar entre dos elementos cuál es el menor). LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS OPERACIONES: ADICIÓN: ∀ a, b, c ∈ ℕ: a + b = c a, b : Sumandos. c : Suma o Total. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS PROPIEDADES: Clausura o Cerradura: ∀ a, b ∈ ℕ: (a + b) ∈ ℕ LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Conmutatividad: ∀ a, b ∈ ℕ: a + b = b + a LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 3) Asociatividad: ∀ a, b, c ∈ ℕ: a + (b + c) = (a + b) + c LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Obs.: La operación inversa a la adición (sustracción) no siempre es posible. (a – b) ∈ ℕ ⇔ a > b LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS MULTIPLICACIÓN: ∀ a, b, c ∈ ℕ: a ∙ b = c a, b: Factores. c: Producto. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Propiedades: Clausura o Cerradura: ∀ a, b ∈ ℕ: (a ∙ b) ∈ ℕ LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Conmutatividad: ∀ a, b ∈ ℕ: a ∙ b = b ∙ a LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 3) Asociatividad: ∀ a, b, c ∈ ℕ: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 4) Existencia de Elemento Neutro Multiplicativo: ∀ a ∈ ℕ, ∃! e ∈ ℕ: a ∙ e = a, siendo: e = 1. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Obs.: La operación inversa a la multiplicación (División) no siempre es posible en ℕ: (a : b) ∈ ℕ ⇔ a = k ∙ b, k ∈ ℕ LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

CONJUNTOS NUMÉRICOS 5) Distributividad: ∀ a, b, c ∈ ℕ: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c (Distributividad a Izquierda) ii) (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c (Distributividad a Derecha) LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

CONJUNTOS NUMÉRICOS Algunos Conceptos en ℕ Conjunto de los Números Pares {n = 2k / k ∈ ℕ} LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de los Números Impares {n = 2k – 1 / k ∈ ℕ} LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Obs.: Naturales Consecutivos: n y (n + 1) LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Pares Consecutivos: (2n) y (2n + 2) LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 3) Impares Consecutivos: (2n – 1) y (2n + 1) LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicios: 1) Dados: a, b ∈ ℕ, demuestre que: Si a es Par y b es Impar, entonces: ab es Par. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DEM.: Sean: a = 2n, n ∈ ℕ b = 2k – 1, k ∈ ℕ ∴ a ∙ b = 2n ∙ (2k – 1) = 4nk – 2n = 2(2nk – n), sea: (2nk – n) = r = 2r. ¡Par! ∴ a ∙ b es Par. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Dado: a ∈ ℕ un número Par. Demuestre que: (a^2 + 3a – 2) es Par. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DEM.: Sea: a = 2n, n ∈ ℕ. Entonces: (a^2 + 3a - 2) = (2n)^2 + 3(2n) – 2 = 4n^2 + 6n – 2 = 2(2n^2 + 3n – 1) Si: (2n^2 + 3n – 1) = t Entonces: = 2t ¡Par! ∴ (a^2 + 3a - 2) es Par. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Divisor (o factor) y múltiplo de un número natural Si: b, c ∈ ℕ, b es factor de c si y sólo si existe a ∈ ℕ tal que: c = a ∙ b. En otras palabras, si: a, b, c ∈ ℕ tal que: c = ab, entonces “a” y “b” se llaman factores o divisores de c y “c” se llama múltiplo de a y múltiplo de b. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplo: 1) 15 = 3∙5 15 es múltiplo de 3 y de 5 3 es factor de 15. 5 es factor de 15. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Determine, por extensión, el conjunto de todos los divisores naturales del número: 72. Divisores de 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 3) Escriba los divisores comunes de: 24, 18 y 32. D.24={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D.18={1, 2, 3, 6, 9, 18} D.32={1, 2, 4, 8, 16, 32} D.C.= {1, 2} LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Número primo, número compuesto y números primos entre sí. DEF.: NÚMERO PRIMO: p ∈ ℕ, p ≠ 1. p es un Número Primo, si los únicos divisores de p son: p y 1. Si p no es un número primo, entonces: p es un NUMERO COMPUESTO. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Obs.: Todo Número Compuesto puede ser expresado como producto de números primos. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS 17NUMÉRICOS Ej.: Determine si: 17 es Primo. DES.: 17 = 17∙1 ⇒ 17 es Primo. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Determine si: 15 es un Número Primo. DES.: 15 = 3 ∙ 5 ⇒ 15 en un Número Compuesto. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicio: Escriba todos los factores primos de 42. DES.: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Números primos entre sí. Dos números naturales son Números Primos entre sí (o Primos Relativos), si, no tienen ningún factor primo en común, es decir, si no tienen otro divisor común más que 1. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplo Sean los números naturales: 15 y 14 Si los expresamos en factores primos, tenemos: 14 = 2 ∙ 7 15 = 3 ∙ 5 Observamos que no existen factores primos comunes. ∴14 y 15 son Primos entre sí. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) El m.c.m. de dos o más números naturales, es el menor natural que es múltiplo común de todos ellos. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Para determinar el m.c.m. de un conjunto de números naturales: Descomponemos los números en sus factores primos. Se eligen todos los factores comunes o no comunes elevados a la mayor potencia. El m.c.m. es el producto de estos factores. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplo: 1) Determine el m.c.m. de: 2, 9, 7, 21 y 3. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DES.: 2 = 2 9 = 3^2 7 = 7 21 = 3 ∙ 7 3 = 3 ∴m.c.m.(2,9,7,21,3)=2∙3^2∙7=126 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Determine el m.c.m. de: 24, 16 y 34 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DES.: 24 = 2^3 ∙ 3 16 = 2^4 34 = 2 ∙ 17 ∴m.c.m.(24,16,34)=2^4∙3∙17 =816 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Máximo Común Divisor (MCD) El MCD de dos o más números naturales es el mayor natural que es divisor de todos ellos. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Para determinar el MCD de un conjunto de números naturales: Descomponemos los números en sus factores primos. Se eligen los factores comunes con la menor potencia. El MCD es el producto de estos factores. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplo: Determine el MCD de: 15, 16 y 9 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DES.: 15 = 3 ∙ 5 6 = 2 ∙ 3 9 = 3 ∙ 3 ∴ MCD(15, 6, 9) = 3 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Obs.: a) El mcm. de dos números primos, es igual a su producto. b) El mcm. de dos números, tales que uno de ellos es un factor del otro, es igual al mayor de ellos. c) El MCD. de dos números, tales que uno de ellos es primo, es igual a 1. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS d) El MCD. de dos números, tales que uno de ellos es un factor del otro, es igual al menor de ellos. e) El producto de dos números es igual al producto de su mcm. y su MCD. f) El MCD de dos números es 1, si y sólo sí son primos entre sí. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicios: 1) Un carpintero quiere cortar una plancha de madera de 256 cm. de largo y 96cm. de ancho, sin que sobre ningún pedazo, en cuadrados del mayor tamaño posible. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS DES.: Largo = 256cm. Ancho = 96cm. 256 = 2^8 96 = 2^5 ⦁ 3 m.c.m. = 2^8 • 3 M.C.D. = 2^5 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS (2^5)(2^8•3)=2^13•3= 24.576cm^2 M.C.D.=2^5=32 x^2=32cm^2 x=5,656854249cm=Long. Lado Total Cuadrados = 768 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) Un viajero va a Iquique cada 18 días, otro cada 15 días y un tercero lo hace cada 8 días. Hoy 22 de Marzo de 2014 han coincidido en Iquique los 3 viajeros. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS ¿En cuántos días, como mínimo, volverán a coincidir en Iquique? ¿Cuál será el día donde se vuelvan a encontrar? LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Des.: 18=2•3^2 15=3•5 8=2^3 mcm=(2^3)(3^2)(5)=360 días Se volverán a encontrar el: 17/03/2015 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS El conjunto de los NÚMEROS CARDINALES (ℕₒ) Los números cardinales indican el número de elementos que tiene un conjunto. El conjunto puede tener una cantidad finita o infinita de elementos. LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplo: Indique el número cardinal de los siguientes conjunto: A = {2, 3, 4} #A = 3 B = {a, x, y} #B = 3 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS C = { } #C = 0 LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) ir CONJUNTOS NUMÉRICOS El conjunto de todos los números cardinales se expresa como: ℕₒ = ℕ ⋃ {0} ={0, 1, 2, … } LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS OBS.: 1)Todo ℕ es ℕₒ. Es decir: ℕ ⊂ ℕₒ LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)

LOS NUMEROS NATURALES (ℕ) CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) En con la Adición, se cumplen las propiedades de clausura, conmutativa y asociativa. Ahora en ℕₒ, además se cumple la propiedad de Existencia de Elemento Neutro aditivo: ∀ a ∈ ℕₒ, ∃! 0 ∈ ℕₒ: a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro aditivo). LOS NUMEROS NATURALES (ℕ)