Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales.

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1 Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a ij ), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

2 MATRICES Y DETERMINANTES Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Tipos de matrices:

3 MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos a ij con i = j, o sea a ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

4 MATRICES Y DETERMINANTES Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A t, la segunda fila de A es la segunda columna de A t, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces A t es de orden n x m. Tipos de matrices: Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t, es decir, si a ij = a ji  i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –A t, es decir, si a ij = –a ji  i, j.

5 MATRICES Y DETERMINANTES Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0 La matriz es una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x 4 Tipos de matrices:

6 MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz unidad o identidad: Es una matriz cuadrada de orden n con los elementos de la diagonal principal iguales a 1 y los demás elementos son 0. Se denota como I n 1 0 0 ….. 0 0 1 0 …... 0 0 0 1 …… 0 : : 0 0 0 …… 1 [ I n = [

7 MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0  i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0  j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior

8 MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Producto de matrices Matrices inversibles

9 MATRICES Y DETERMINANTES Trasposición de matrices Operaciones con matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (A t ) t = A.

10 MATRICES Y DETERMINANTES La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Sin embargo, no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

11 MATRICES Y DETERMINANTES 4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0. Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa Matriz Nula 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

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13 Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij. Ejemplo: El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices

14 MATRICES Y DETERMINANTES. Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices Propiedades del producto de una matriz por un escalar 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª 2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª Propiedad asociativa mixta 3ª. k [h A] = (k h) A Elemento unidad 4ª. 1 · A = A · 1 = A

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16 Producto de matrices Operaciones con matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir: P ij = S a ik b kj

17 MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo 1: a 11 = (-1)(-3) + (3)(-4) = -9 a 21 = (4)(-3) + (-2)(-4) = -4 a 31 = (5)(-3) + (0)(-4) = -15 a 12 = (-1)(2) + (3)(1) = 1 a 22 = (4)(2) + (-2)(1) = 6 a 32 = (5)(2) + (0)(1) = 10 -1 3 4 -2 5 0 [ [ [ [ -3 2 -4 1 AB = Matriz de orden3 x 22 x 2 -9 1 -4 6 -15 10 [ [ AB = Matriz de orden3 x 2 no se pueden multiplicar Ejemplo:

18 MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Propiedades del producto de matrices. 1ª. A (BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicación 2ª. A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva 1ªPropiedad distributiva 2ª 3ª. (A + B)C = AC + BC Propiedad asociativa de la multiplicación escalar 4ª. c(AB) = (cA)B = A(cB)

19 . MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Propiedades del producto de matrices Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·I n = I n ·A = A. I n = Matriz Identidad Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I n. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A –1. El producto de matrices en general NO ES CONMUTATIVO. A* B ≠ B*A

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