UNIDAD No. 1 El proceso de integración Area bajo la curva

AREA BAJO LA CURVA DE UNA FUNCIÓN Considérese una función f(x) finita, continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b]. Sea R la región limitada por la curva de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. ¿Cuál es el valor del área de la Región R [área bajo la curva de la función f(x)]?

AREA BAJO LA CURVA Restringiendo a f(x) como una función creciente:

AREA BAJO LA CURVA... Es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el valor del área del rectángulo de altura f(a) y base dada por (b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región R). También es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el área del rectángulo de altura f(b) y base dada por (b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la región R).

AREA BAJO LA CURVA... A1 A1

AREA BAJO LA CURVA... Podemos mejorar la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de uno, ahora DOS rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA... A1 A2

AREA BAJO LA CURVA... Podemos mejorar aún más la aproximación dada en el proceso anterior, considerando en lugar de dos, ahora TRES rectángulos de igual base inscritos en la región R, esto nos conduce ahora a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA... A1 A2 A3

AREA BAJO LA CURVA... Considerando un gran número (n) de rectángulos inscritos en la región R es posible mejorar aún más la aproximación del área de la región R y esto nos conduce a lo siguiente:

AREA BAJO LA CURVA... A1 . . . An

AREA BAJO LA CURVA... Es claro que esta aproximación puede ser cada vez mejor entre mayor sea el número de rectángulos considerados pero será igual sólo considerando el valor límite cuando el número de rectángulos sea infinito. Así:

AREA BAJO LA CURVA... ¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar rectángulos INSCRITOS a la región consideramos rectángulos CIRCUNSCRITOS? ¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar una función CRECIENTE consideramos una función DECRECIENTE?

PROBLEMAS Determinar el valor del área limitada por la gráfica de la función, el eje x y las rectas indicadas usando para ello la suma de las áreas de los rectángulos indicados: x=2, x=3, Rectángulos inscritos x=1, x=2, Rectángulos circunscritos x=3, x=6, Rectángulos circunscritos

INTEGRAL DEFINIDA Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f desde un valor a hasta un valor b, denotada por se define como:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua en [a,b] y F cualquier función para la cual F´(x)=f(x). Entonces: