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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 4 GEOMETRÍA ANALÍTICA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 4 GEOMETRÍA ANALÍTICA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 Tema 4.4 * 1º BCT COORDENADAS DE UN VECTOR

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 NOMENCLATURA El conjunto de todos los puntos del plano es R 2 El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F 2 El conjunto de todos los vectores libres del plano es V 2 V 2 es un subconjunto de F 2 BASE CANÓNICA Base canónica de V 2 es el conjunto formado por dos vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j), es decir i=(1, 0), j=(0, 1) COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE Sea B=(i, j) una base canónica del plano y u un vector cualquiera de V 2, se llaman coordenadas cartesianas del vector u al par de números (x, y) tales que permiten expresar al vector u como combinación lineal de los vectores de la base de forma: u=xi+yj

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas en V 2 está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. La unidad del eje de abscisas es el vector i. La unidad del eje de ordenadas es el vector j. La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector. u i j x y u = xi + yj

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 Ejemplos de coordenadas de un vector Sea el vector u = ai + bj u = (a, b) z = 2i – 3j z = ( 2, -3) v = 5i + 3j v = (5,3) u = 5i u = (5, 0) w = 2j w = (0, 2) t = - 4i+j t = (- 4, 1)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 z =(3, 0) Más ejemplos de coordenadas de un vector Sea el vector u = ai + bj u = (a, b) z = 3i w =(-4, -1) w = – 4i – j v =(4, 3) v = 4i + 3j u =(–2, 2) v = – 2i + 2j

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 Tema 4.5 * 1º BCT MÓDULO Y ARGUMENTO

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (x,y) y el vector u= (x,y) La suma será: S = v+u = (x,y)+(x,y) = (x+x, y+y) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Sea el vector v= (x,y) y el número real k K.u = k(x, y) = (kx, ky) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (2, - 4) y k = 3 k.v = 3.(2, - 4) = (6, - 12 OPERACIONES CON VECTORES

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 x Sumas con coordenadas i j x y u = xi + yj v = xi + yj y x+x y+y

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 Suma geométrica de tres vectores Se lleva a continuación de uno cualquiera otro, y a continuación del segundo el tercer vector, de forma que la suma es el vector que tiene: Como principio o punto de aplicación, el del primer vector. Como final o extremo, el final o extremo del último vector. w =(-2,- 2) u =(3, 0) S=(6, 1) v =(5, 3) w =(-2, -2) S = (5, 3)+(3, 0)+(-2,-2)=(5+3-2, 3+0-2)=(6, 1)

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 ¿Qué vale la suma de todos ellos? z = 2i – 3j z = ( 2, -3) v = 5i + 3j v = (5,3) u = 5i u = (5, 0) w = 2j w = (0, 2) t = - 4i+j t = (- 4, 1)

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT12 z =(3, 0) z = 3i w =(-4, -1) w = – 4i – j v =(4, 3) v = 4i + 3j u =(–2, 2) v = – 2i + 2j ¿Qué vale la suma de todos ellos?

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT13 MÓDULO Y ARGUMENTO MÓDULO Módulo de un vector u, |u|, es su longitud. |u|=(x 2 +y 2 ) ARGUMENTO Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas. arg(u) = α = arctg (y/x) i j xi yj u |u|=(x 2 +y 2 ) α = arctg (y/x)

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT14 VECTOR UNITARIO VECTOR UNITARIO Un vector es unitario si su módulo es la unidad. Si queremos conseguir un vector unitario, v, con el mismo sentido y dirección de otro, u, basta dividir las coordenadas de u entre su módulo. x y v = ( , ) (x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) EJEMPLOS Hallar el vector unitario de los siguientes vectores: u=(3, -4) v=((3/5), (-4/5)) u=(1, 1) v =((1/ 2), (1/ 2))=(( 2/2), ( 2/2)) u=(-5, 12) v=((-5/13), (12/13)) u=(-4, 4) v=((-4/ 4 2), (4/ 4 2)) =((- 2/2), ( 2/2))


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