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Regla de LHôpital Ing. Antonio Crivillero. Regla de LHôpital: Teorema excepto posiblemente en un un punto x 0 de este intervalo, Sean f y g funciones.

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1 Regla de LHôpital Ing. Antonio Crivillero

2 Regla de LHôpital: Teorema excepto posiblemente en un un punto x 0 de este intervalo, Sean f y g funciones derivables sobre el intervalo abierto (a,b), con g (x) K 0 para todo x X (a,b) y x K x 0 tales que entonces y si

3 Regla de LHôpital: Demostración de donde: Podemos suponer que f (x 0 )=0 y g (x 0 )=0 Tomando x X (x 0,b) y aplicando el Teorema del Valor Medio generalizado (Cauchy) tenemos: 0 x y a x0x0 bx x 0 < c < x c f g

4 Regla de LHôpital: Demostración cuando 0 x y xc a x0x0 bx c Cuandola demostración es completamente análoga, tomando x X (a,x 0 ), y se demuestra que f g

5 Regla de LHôpital: Demostración Como 0 x x0x0 L y

6 Algunas consideraciones importantes: En el caso que f y g satisfagan las mismas condiciones que f y g, el proceso se puede reiterar. 1) El teorema puede generalizarse a los casos en que o 2) En los casos en que x 0 = a ó x 0 = b 3) cuando sólo hay límites unilaterales o

7 Caso Especial Para el caso en que f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0, f y g son continuas y g ( x 0 ) K 0 es fácil ver por qué la regla de LHôpital es verdadera. Si se aplica la forma alterna de la definición de la derivada:

8 Interpretación Visual 0 x x0x0 y f g x0x0 y = m 1 ( x – x 0 ) y = m 2 ( x – x 0 ) Sean f y g dos funciones diferenciables con f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0 Amplificando el punto ( x 0,0): Si f y g fueran en realidad lineales, su razón sería: Esto sugiere que

9 Regla de LHôpital: Orígenes La Regla de LHôpital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de LHôpital ( ), pero fue descubierta por el matemático suizo John Bernoulli ( ). Ambos mantenían un curioso arreglo de negocios, por medio del cual el marqués de LHôpital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli. Marqués de LHôpital John Bernoulli

10 Regla de LHôpital: Orígenes La primera aparición impresa de la Regla fue en el libro Analyse des Infiniment Petits, publicado por el marqués de LHôpital en Fue el primer libro de texto de Cálculo alguna vez publicado. El ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar la Regla fue hallar el límite de la función cuando, donde a > 0


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